Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4245 / 4244
↖ ↑ ↗
← S  6.489983°
E  6.547852°		 ← 4 855.18 m → S  6.489983°
E  6.591797°		 →
↑
4 854.96 m
↓
↑
4 854.96 m
↓
S  6.533645°
E  6.547852°		 ← 4 854.76 m →
23 570 660 m²		 S  6.533645°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51824951171875 y=0.51812744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51824951171875 × 213)
    floor (0.51824951171875 × 8192)
    floor (4245.5)     		tx = 4245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51812744140625 × 213)
    floor (0.51812744140625 × 8192)
    floor (4244.5)     		ty = 4244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4245 / 4244 ti = "13/4245/4244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4245/4244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4245 ÷ 213
    4245 ÷ 8192     		x = 0.5181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4244 ÷ 213
    4244 ÷ 8192     		y = 0.51806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5181884765625 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11428157} λ = 0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113514578300293))-π/2
    2×atan(0.892691182396198)-π/2
    2×0.728762374621731-π/2
    1.45752474924346-1.57079632675     		φ = -0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4245 KachelY 4244 0.11428157 -0.11327158 6.547852 -6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 4246 KachelY 4244 0.11504856 -0.11327158 6.591797 -6.489983
    Unten links KachelX 4245 KachelY + 1 4245 0.11428157 -0.11403362 6.547852 -6.533645
    Unten rechts KachelX + 1 4246 KachelY + 1 4245 0.11504856 -0.11403362 6.591797 -6.533645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11327158--0.11403362) × R
    0.000762040000000005 × 6371000     		dl = 4854.95684000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11327158--0.11403362) × R
    0.000762040000000005 × 6371000     		dr = 4854.95684000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11428157-0.11504856) × cos(-0.11327158) × R
    0.000766989999999995 × 0.993591630835469 × 6371000     		do = 4855.17883707765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11428157-0.11504856) × cos(-0.11403362) × R
    0.000766989999999995 × 0.993505209340843 × 6371000     		du = 4854.75653902405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11327158)-sin(-0.11403362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993591630835469-0.993505209340843)×R²
    abs(0.11504856-0.11428157)×8.64214946256769e-05×R²
    0.000766989999999995×8.64214946256769e-05×6371000²
    0.000766989999999995×8.64214946256769e-05×40589641000000     		ar = 23570659.7257146m²