Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4215 / 4243
↖ ↑ ↗
← S  6.446318°
E  5.229492°		 ← 4 855.60 m → S  6.446318°
E  5.273438°		 →
↑
4 855.40 m
↓
↑
4 855.40 m
↓
S  6.489983°
E  5.229492°		 ← 4 855.18 m →
23 574 869 m²		 S  6.489983°
E  5.273438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51458740234375 y=0.51800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51458740234375 × 213)
    floor (0.51458740234375 × 8192)
    floor (4215.5)     		tx = 4215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51800537109375 × 213)
    floor (0.51800537109375 × 8192)
    floor (4243.5)     		ty = 4243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4215 / 4243 ti = "13/4215/4243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4215/4243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4215 ÷ 213
    4215 ÷ 8192     		x = 0.5145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4243 ÷ 213
    4243 ÷ 8192     		y = 0.5179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5145263671875 × 2 - 1) × π
    0.029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09127186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.112747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09127186} λ = 0.09127186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.112747587906372))-π/2
    2×atan(0.893376130598602)-π/2
    2×0.729143428720156-π/2
    1.45828685744031-1.57079632675     		φ = -0.11250947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09127186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11250947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.446318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4215 KachelY 4243 0.09127186 -0.11250947 5.229492 -6.446318
    Oben rechts KachelX + 1 4216 KachelY 4243 0.09203885 -0.11250947 5.273438 -6.446318
    Unten links KachelX 4215 KachelY + 1 4244 0.09127186 -0.11327158 5.229492 -6.489983
    Unten rechts KachelX + 1 4216 KachelY + 1 4244 0.09203885 -0.11327158 5.273438 -6.489983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11250947--0.11327158) × R
    0.000762109999999996 × 6371000     		dl = 4855.40280999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11250947--0.11327158) × R
    0.000762109999999996 × 6371000     		dr = 4855.40280999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09127186-0.09203885) × cos(-0.11250947) × R
    0.000766990000000009 × 0.993677483205593 × 6371000     		do = 4855.59835410828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09127186-0.09203885) × cos(-0.11327158) × R
    0.000766990000000009 × 0.993591630835469 × 6371000     		du = 4855.17883707773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11250947)-sin(-0.11327158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993677483205593-0.993591630835469)×R²
    abs(0.09203885-0.09127186)×8.58523701241509e-05×R²
    0.000766990000000009×8.58523701241509e-05×6371000²
    0.000766990000000009×8.58523701241509e-05×40589641000000     		ar = 23574868.571731m²