Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4190 / 4061
↖ ↑ ↗
← N  1.537901°
E  4.130860°		 ← 4 884.73 m → N  1.537901°
E  4.174805°		 →
↑
4 884.77 m
↓
↑
4 884.77 m
↓
N  1.493971°
E  4.130860°		 ← 4 884.83 m →
23 861 056 m²		 N  1.493971°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51153564453125 y=0.49578857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51153564453125 × 213)
    floor (0.51153564453125 × 8192)
    floor (4190.5)     		tx = 4190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49578857421875 × 213)
    floor (0.49578857421875 × 8192)
    floor (4061.5)     		ty = 4061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4190 / 4061 ti = "13/4190/4061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4190/4061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4190 ÷ 213
    4190 ÷ 8192     		x = 0.511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4061 ÷ 213
    4061 ÷ 8192     		y = 0.4957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511474609375 × 2 - 1) × π
    0.02294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07209710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07209710} λ = 0.07209710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0268446637872314))-π/2
    2×atan(1.0272082277341)-π/2
    2×0.798818883478902-π/2
    1.5976377669578-1.57079632675     		φ = 0.02684144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07209710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.130860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02684144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.537901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4190 KachelY 4061 0.07209710 0.02684144 4.130860 1.537901
    Oben rechts KachelX + 1 4191 KachelY 4061 0.07286409 0.02684144 4.174805 1.537901
    Unten links KachelX 4190 KachelY + 1 4062 0.07209710 0.02607472 4.130860 1.493971
    Unten rechts KachelX + 1 4191 KachelY + 1 4062 0.07286409 0.02607472 4.174805 1.493971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02684144-0.02607472) × R
    0.000766720000000002 × 6371000     		dl = 4884.77312000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02684144-0.02607472) × R
    0.000766720000000002 × 6371000     		dr = 4884.77312000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07209710-0.07286409) × cos(0.02684144) × R
    0.000766990000000009 × 0.999639790176627 × 6371000     		do = 4884.73312711515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07209710-0.07286409) × cos(0.02607472) × R
    0.000766990000000009 × 0.999660073748516 × 6371000     		du = 4884.83224265309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02684144)-sin(0.02607472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999639790176627-0.999660073748516)×R²
    abs(0.07286409-0.07209710)×2.02835718892125e-05×R²
    0.000766990000000009×2.02835718892125e-05×6371000²
    0.000766990000000009×2.02835718892125e-05×40589641000000     		ar = 23861056.3250759m²