Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 418 / 477
↖ ↑ ↗
← S 82.402423°
E113.906250°		 ← 10.337 km → S 82.402423°
E114.609375°		 →
↑
10.274 km
↓
↑
10.274 km
↓
S 82.494824°
E113.906250°		 ← 10.212 km →
105.565 km²		 S 82.494824°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8173828125 y=0.9326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8173828125 × 29)
    floor (0.8173828125 × 512)
    floor (418.5)     		tx = 418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9326171875 × 29)
    floor (0.9326171875 × 512)
    floor (477.5)     		ty = 477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 418 / 477 ti = "9/418/477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/418/477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 418 ÷ 29
    418 ÷ 512     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 477 ÷ 29
    477 ÷ 512     		y = 0.931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931640625 × 2 - 1) × π
    -0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7120780329043))-π/2
    2×atan(0.0663986846021673)-π/2
    2×0.0663013627335668-π/2
    0.132602725467134-1.57079632675     		φ = -1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 418 KachelY 477 1.98803910 -1.43819360 113.906250 -82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 419 KachelY 477 2.00031095 -1.43819360 114.609375 -82.402423
    Unten links KachelX 418 KachelY + 1 478 1.98803910 -1.43980629 113.906250 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 419 KachelY + 1 478 2.00031095 -1.43980629 114.609375 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43819360--1.43980629) × R
    0.00161268999999997 × 6371000     		dl = 10274.4479899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43819360--1.43980629) × R
    0.00161268999999997 × 6371000     		dr = 10274.4479899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-2.00031095) × cos(-1.43819360) × R
    0.0122718499999999 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 10337.0499864184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-2.00031095) × cos(-1.43980629) × R
    0.0122718499999999 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 10212.0570103264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43819360)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.130615761686591)×R²
    abs(2.00031095-1.98803910)×0.00159870364621165×R²
    0.0122718499999999×0.00159870364621165×6371000²
    0.0122718499999999×0.00159870364621165×40589641000000     		ar = 105565388.418805m²