Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41744 / 42640
↖ ↑ ↗
← S 47.576526°
E 49.306641°		 ← 412.08 m → S 47.576526°
E 49.312134°		 →
↑
412.01 m
↓
↑
412.01 m
↓
S 47.580231°
E 49.306641°		 ← 412.05 m →
169 778 m²		 S 47.580231°
E 49.312134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636970520019531 y=0.650642395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636970520019531 × 216)
    floor (0.636970520019531 × 65536)
    floor (41744.5)     		tx = 41744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650642395019531 × 216)
    floor (0.650642395019531 × 65536)
    floor (42640.5)     		ty = 42640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41744 / 42640 ti = "16/41744/42640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41744/42640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41744 ÷ 216
    41744 ÷ 65536     		x = 0.636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42640 ÷ 216
    42640 ÷ 65536     		y = 0.650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.30126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.946466146098389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86056322} λ = 0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946466146098389))-π/2
    2×atan(0.388110127411034)-π/2
    2×0.370214653224265-π/2
    0.740429306448529-1.57079632675     		φ = -0.83036702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83036702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.576526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41744 KachelY 42640 0.86056322 -0.83036702 49.306641 -47.576526
    Oben rechts KachelX + 1 41745 KachelY 42640 0.86065910 -0.83036702 49.312134 -47.576526
    Unten links KachelX 41744 KachelY + 1 42641 0.86056322 -0.83043169 49.306641 -47.580231
    Unten rechts KachelX + 1 41745 KachelY + 1 42641 0.86065910 -0.83043169 49.312134 -47.580231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83036702--0.83043169) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dl = 412.012569999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83036702--0.83043169) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dr = 412.012569999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86056322-0.86065910) × cos(-0.83036702) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.674604879051399 × 6371000     		do = 412.083388783975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86056322-0.86065910) × cos(-0.83043169) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.674557139603908 × 6371000     		du = 412.054227071821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83036702)-sin(-0.83043169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674604879051399-0.674557139603908)×R²
    abs(0.86065910-0.86056322)×4.77394474911463e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77394474911463e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77394474911463e-05×40589641000000     		ar = 169777.52863048m²