Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4173 / 3996
↖ ↑ ↗
← N  4.390229°
E  3.383789°		 ← 4 872.16 m → N  4.390229°
E  3.427734°		 →
↑
4 872.29 m
↓
↑
4 872.29 m
↓
N  4.346411°
E  3.383789°		 ← 4 872.44 m →
23 739 229 m²		 N  4.346411°
E  3.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50946044921875 y=0.48785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50946044921875 × 213)
    floor (0.50946044921875 × 8192)
    floor (4173.5)     		tx = 4173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48785400390625 × 213)
    floor (0.48785400390625 × 8192)
    floor (3996.5)     		ty = 3996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4173 / 3996 ti = "13/4173/3996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4173/3996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4173 ÷ 213
    4173 ÷ 8192     		x = 0.5093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3996 ÷ 213
    3996 ÷ 8192     		y = 0.48779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5093994140625 × 2 - 1) × π
    0.018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05905826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48779296875 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05905826} λ = 0.05905826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0766990393920898))-π/2
    2×atan(1.07971707518145)-π/2
    2×0.823710138237897-π/2
    1.64742027647579-1.57079632675     		φ = 0.07662395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05905826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07662395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.390229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4173 KachelY 3996 0.05905826 0.07662395 3.383789 4.390229
    Oben rechts KachelX + 1 4174 KachelY 3996 0.05982525 0.07662395 3.427734 4.390229
    Unten links KachelX 4173 KachelY + 1 3997 0.05905826 0.07585919 3.383789 4.346411
    Unten rechts KachelX + 1 4174 KachelY + 1 3997 0.05982525 0.07585919 3.427734 4.346411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07662395-0.07585919) × R
    0.000764759999999989 × 6371000     		dl = 4872.28595999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07662395-0.07585919) × R
    0.000764759999999989 × 6371000     		dr = 4872.28595999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05905826-0.05982525) × cos(0.07662395) × R
    0.000766990000000002 × 0.997065821167897 × 6371000     		do = 4872.15544482528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05905826-0.05982525) × cos(0.07585919) × R
    0.000766990000000002 × 0.997124071198849 × 6371000     		du = 4872.44008321067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07662395)-sin(0.07585919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997065821167897-0.997124071198849)×R²
    abs(0.05982525-0.05905826)×5.82500309521672e-05×R²
    0.000766990000000002×5.82500309521672e-05×6371000²
    0.000766990000000002×5.82500309521672e-05×40589641000000     		ar = 23739229.1455702m²