Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4169 / 4023
↖ ↑ ↗
← N  3.206333°
E  3.208008°		 ← 4 878.84 m → N  3.206333°
E  3.251953°		 →
↑
4 878.98 m
↓
↑
4 878.98 m
↓
N  3.162455°
E  3.208008°		 ← 4 879.05 m →
23 804 268 m²		 N  3.162455°
E  3.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50897216796875 y=0.49114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50897216796875 × 213)
    floor (0.50897216796875 × 8192)
    floor (4169.5)     		tx = 4169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49114990234375 × 213)
    floor (0.49114990234375 × 8192)
    floor (4023.5)     		ty = 4023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4169 / 4023 ti = "13/4169/4023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4169/4023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4169 ÷ 213
    4169 ÷ 8192     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4023 ÷ 213
    4023 ÷ 8192     		y = 0.4910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4910888671875 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(1.05758742377343)-π/2
    2×0.813378697166567-π/2
    1.62675739433313-1.57079632675     		φ = 0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4169 KachelY 4023 0.05599030 0.05596107 3.208008 3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 4170 KachelY 4023 0.05675729 0.05596107 3.251953 3.206333
    Unten links KachelX 4169 KachelY + 1 4024 0.05599030 0.05519526 3.208008 3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 4170 KachelY + 1 4024 0.05675729 0.05519526 3.251953 3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05596107-0.05519526) × R
    0.000765809999999999 × 6371000     		dl = 4878.97550999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05596107-0.05519526) × R
    0.000765809999999999 × 6371000     		dr = 4878.97550999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05675729) × cos(0.05596107) × R
    0.000766990000000002 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 4878.84391433578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05675729) × cos(0.05519526) × R
    0.000766990000000002 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 4879.05178773871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05596107)-sin(0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998477128316837)×R²
    abs(0.05675729-0.05599030)×4.25404048642886e-05×R²
    0.000766990000000002×4.25404048642886e-05×6371000²
    0.000766990000000002×4.25404048642886e-05×40589641000000     		ar = 23804268.2431419m²