Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41689 / 42694
↖ ↑ ↗
← S 47.776252°
E 49.004516°		 ← 410.51 m → S 47.776252°
E 49.010010°		 →
↑
410.48 m
↓
↑
410.48 m
↓
S 47.779943°
E 49.004516°		 ← 410.48 m →
168 501 m²		 S 47.779943°
E 49.010010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636131286621094 y=0.651466369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636131286621094 × 216)
    floor (0.636131286621094 × 65536)
    floor (41689.5)     		tx = 41689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651466369628906 × 216)
    floor (0.651466369628906 × 65536)
    floor (42694.5)     		ty = 42694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41689 / 42694 ti = "16/41689/42694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41689/42694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41689 ÷ 216
    41689 ÷ 65536     		x = 0.636123657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42694 ÷ 216
    42694 ÷ 65536     		y = 0.651458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636123657226562 × 2 - 1) × π
    0.272247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85529016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.30291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.951643331257355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85529016} λ = 0.85529016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951643331257355))-π/2
    2×atan(0.386106001760565)-π/2
    2×0.368471712191943-π/2
    0.736943424383886-1.57079632675     		φ = -0.83385290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85529016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.004516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83385290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.776252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41689 KachelY 42694 0.85529016 -0.83385290 49.004516 -47.776252
    Oben rechts KachelX + 1 41690 KachelY 42694 0.85538604 -0.83385290 49.010010 -47.776252
    Unten links KachelX 41689 KachelY + 1 42695 0.85529016 -0.83391733 49.004516 -47.779943
    Unten rechts KachelX + 1 41690 KachelY + 1 42695 0.85538604 -0.83391733 49.010010 -47.779943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83385290--0.83391733) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dl = 410.483530000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83385290--0.83391733) × R
    6.44300000000042e-05 × 6371000     		dr = 410.483530000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85529016-0.85538604) × cos(-0.83385290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.672027582121321 × 6371000     		do = 410.509043139361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85529016-0.85538604) × cos(-0.83391733) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		du = 410.479897281847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83385290)-sin(-0.83391733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672027582121321-0.671979868628814)×R²
    abs(0.85538604-0.85529016)×4.77134925066514e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77134925066514e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77134925066514e-05×40589641000000     		ar = 168501.219235945m²