Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41681 / 42673
↖ ↑ ↗
← S 47.698672°
E 48.960571°		 ← 411.12 m → S 47.698672°
E 48.966065°		 →
↑
411.06 m
↓
↑
411.06 m
↓
S 47.702368°
E 48.960571°		 ← 411.09 m →
168 988 m²		 S 47.702368°
E 48.966065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636009216308594 y=0.651145935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636009216308594 × 216)
    floor (0.636009216308594 × 65536)
    floor (41681.5)     		tx = 41681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651145935058594 × 216)
    floor (0.651145935058594 × 65536)
    floor (42673.5)     		ty = 42673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41681 / 42673 ti = "16/41681/42673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41681/42673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41681 ÷ 216
    41681 ÷ 65536     		x = 0.636001586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42673 ÷ 216
    42673 ÷ 65536     		y = 0.651138305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636001586914062 × 2 - 1) × π
    0.272003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85452317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651138305664062 × 2 - 1) × π
    -0.302276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.949629981473312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85452317} λ = 0.85452317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949629981473312))-π/2
    2×atan(0.386884151276549)-π/2
    2×0.369148729847465-π/2
    0.73829745969493-1.57079632675     		φ = -0.83249887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85452317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.960571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83249887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.698672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41681 KachelY 42673 0.85452317 -0.83249887 48.960571 -47.698672
    Oben rechts KachelX + 1 41682 KachelY 42673 0.85461905 -0.83249887 48.966065 -47.698672
    Unten links KachelX 41681 KachelY + 1 42674 0.85452317 -0.83256339 48.960571 -47.702368
    Unten rechts KachelX + 1 41682 KachelY + 1 42674 0.85461905 -0.83256339 48.966065 -47.702368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83249887--0.83256339) × R
    6.45200000000123e-05 × 6371000     		dl = 411.056920000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83249887--0.83256339) × R
    6.45200000000123e-05 × 6371000     		dr = 411.056920000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85452317-0.85461905) × cos(-0.83249887) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.673029660345472 × 6371000     		do = 411.121164106135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85452317-0.85461905) × cos(-0.83256339) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.672981938953094 × 6371000     		du = 411.092013422974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83249887)-sin(-0.83256339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673029660345472-0.672981938953094)×R²
    abs(0.85461905-0.85452317)×4.77213923775199e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77213923775199e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77213923775199e-05×40589641000000     		ar = 168988.208228176m²