Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4168 / 2766
↖ ↑ ↗
← N 50.345461°
E  3.164063°		 ← 3 118.35 m → N 50.345461°
E  3.208008°		 →
↑
3 119.31 m
↓
↑
3 119.31 m
↓
N 50.317408°
E  3.164063°		 ← 3 120.19 m →
9 729 960 m²		 N 50.317408°
E  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50885009765625 y=0.33770751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50885009765625 × 213)
    floor (0.50885009765625 × 8192)
    floor (4168.5)     		tx = 4168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33770751953125 × 213)
    floor (0.33770751953125 × 8192)
    floor (2766.5)     		ty = 2766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4168 / 2766 ti = "13/4168/2766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4168/2766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4168 ÷ 213
    4168 ÷ 8192     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2766 ÷ 213
    2766 ÷ 8192     		y = 0.337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337646484375 × 2 - 1) × π
    0.32470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02009722391479))-π/2
    2×atan(2.77346439792296)-π/2
    2×1.22474518716945-π/2
    2.44949037433889-1.57079632675     		φ = 0.87869405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87869405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.345461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4168 KachelY 2766 0.05522331 0.87869405 3.164063 50.345461
    Oben rechts KachelX + 1 4169 KachelY 2766 0.05599030 0.87869405 3.208008 50.345461
    Unten links KachelX 4168 KachelY + 1 2767 0.05522331 0.87820444 3.164063 50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 4169 KachelY + 1 2767 0.05599030 0.87820444 3.208008 50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87869405-0.87820444) × R
    0.000489610000000029 × 6371000     		dl = 3119.30531000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87869405-0.87820444) × R
    0.000489610000000029 × 6371000     		dr = 3119.30531000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(0.87869405) × R
    0.000766990000000002 × 0.638157147019085 × 6371000     		do = 3118.35061687431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(0.87820444) × R
    0.000766990000000002 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 3120.19222497148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87869405)-sin(0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638157147019085-0.638534024257602)×R²
    abs(0.05599030-0.05522331)×0.000376877238517537×R²
    0.000766990000000002×0.000376877238517537×6371000²
    0.000766990000000002×0.000376877238517537×40589641000000     		ar = 9729960.10098723m²