Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41676 / 42716
↖ ↑ ↗
← S 47.857403°
E 48.933105°		 ← 409.87 m → S 47.857403°
E 48.938599°		 →
↑
409.85 m
↓
↑
409.85 m
↓
S 47.861089°
E 48.933105°		 ← 409.84 m →
167 977 m²		 S 47.861089°
E 48.938599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635932922363281 y=0.651802062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635932922363281 × 216)
    floor (0.635932922363281 × 65536)
    floor (41676.5)     		tx = 41676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651802062988281 × 216)
    floor (0.651802062988281 × 65536)
    floor (42716.5)     		ty = 42716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41676 / 42716 ti = "16/41676/42716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41676/42716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41676 ÷ 216
    41676 ÷ 65536     		x = 0.63592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42716 ÷ 216
    42716 ÷ 65536     		y = 0.65179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63592529296875 × 2 - 1) × π
    0.2718505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85404380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85404380} λ = 0.85404380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953752554840637))-π/2
    2×atan(0.385292476131329)-π/2
    2×0.367763537423968-π/2
    0.735527074847936-1.57079632675     		φ = -0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85404380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41676 KachelY 42716 0.85404380 -0.83526925 48.933105 -47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 41677 KachelY 42716 0.85413968 -0.83526925 48.938599 -47.857403
    Unten links KachelX 41676 KachelY + 1 42717 0.85404380 -0.83533358 48.933105 -47.861089
    Unten rechts KachelX + 1 41677 KachelY + 1 42717 0.85413968 -0.83533358 48.938599 -47.861089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83526925--0.83533358) × R
    6.43300000000568e-05 × 6371000     		dl = 409.846430000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83526925--0.83533358) × R
    6.43300000000568e-05 × 6371000     		dr = 409.846430000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85404380-0.85413968) × cos(-0.83526925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 409.867943593016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85404380-0.85413968) × cos(-0.83533358) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.670930363631191 × 6371000     		du = 409.838805600783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83526925)-sin(-0.83533358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.670930363631191)×R²
    abs(0.85413968-0.85404380)×4.77006165782168e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77006165782168e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77006165782168e-05×40589641000000     		ar = 167976.942459757m²