Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4166 / 4021
↖ ↑ ↗
← N  3.294082°
E  3.076172°		 ← 4 878.42 m → N  3.294082°
E  3.120117°		 →
↑
4 878.53 m
↓
↑
4 878.53 m
↓
N  3.250209°
E  3.076172°		 ← 4 878.63 m →
23 800 036 m²		 N  3.250209°
E  3.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50860595703125 y=0.49090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50860595703125 × 213)
    floor (0.50860595703125 × 8192)
    floor (4166.5)     		tx = 4166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49090576171875 × 213)
    floor (0.49090576171875 × 8192)
    floor (4021.5)     		ty = 4021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4166 / 4021 ti = "13/4166/4021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4166/4021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4166 ÷ 213
    4166 ÷ 8192     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4021 ÷ 213
    4021 ÷ 8192     		y = 0.4908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4908447265625 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0575242795440674))-π/2
    2×atan(1.05921098750238)-π/2
    2×0.814144453754373-π/2
    1.62828890750875-1.57079632675     		φ = 0.05749258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05749258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.294082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4166 KachelY 4021 0.05368933 0.05749258 3.076172 3.294082
    Oben rechts KachelX + 1 4167 KachelY 4021 0.05445632 0.05749258 3.120117 3.294082
    Unten links KachelX 4166 KachelY + 1 4022 0.05368933 0.05672684 3.076172 3.250209
    Unten rechts KachelX + 1 4167 KachelY + 1 4022 0.05445632 0.05672684 3.120117 3.250209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05749258-0.05672684) × R
    0.000765740000000001 × 6371000     		dl = 4878.52954000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05749258-0.05672684) × R
    0.000765740000000001 × 6371000     		dr = 4878.52954000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05445632) × cos(0.05749258) × R
    0.000766990000000002 × 0.998347756807638 × 6371000     		do = 4878.41961472709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05445632) × cos(0.05672684) × R
    0.000766990000000002 × 0.998391464228098 × 6371000     		du = 4878.63319074389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05749258)-sin(0.05672684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998347756807638-0.998391464228098)×R²
    abs(0.05445632-0.05368933)×4.3707420459782e-05×R²
    0.000766990000000002×4.3707420459782e-05×6371000²
    0.000766990000000002×4.3707420459782e-05×40589641000000     		ar = 23800036.3303597m²