Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4164 / 4028
↖ ↑ ↗
← N  2.986928°
E  2.988281°		 ← 4 879.85 m → N  2.986928°
E  3.032227°		 →
↑
4 879.99 m
↓
↑
4 879.99 m
↓
N  2.943041°
E  2.988281°		 ← 4 880.05 m →
23 814 140 m²		 N  2.943041°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50836181640625 y=0.49176025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50836181640625 × 213)
    floor (0.50836181640625 × 8192)
    floor (4164.5)     		tx = 4164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49176025390625 × 213)
    floor (0.49176025390625 × 8192)
    floor (4028.5)     		ty = 4028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4164 / 4028 ti = "13/4164/4028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4164/4028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4164 ÷ 213
    4164 ÷ 8192     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4028 ÷ 213
    4028 ÷ 8192     		y = 0.49169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49169921875 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0521553467866211))-π/2
    2×atan(1.05353939376109)-π/2
    2×0.811464022162557-π/2
    1.62292804432511-1.57079632675     		φ = 0.05213172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05213172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.986928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4164 KachelY 4028 0.05215535 0.05213172 2.988281 2.986928
    Oben rechts KachelX + 1 4165 KachelY 4028 0.05292234 0.05213172 3.032227 2.986928
    Unten links KachelX 4164 KachelY + 1 4029 0.05215535 0.05136575 2.988281 2.943041
    Unten rechts KachelX + 1 4165 KachelY + 1 4029 0.05292234 0.05136575 3.032227 2.943041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05213172-0.05136575) × R
    0.000765969999999998 × 6371000     		dl = 4879.99486999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05213172-0.05136575) × R
    0.000765969999999998 × 6371000     		dr = 4879.99486999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05292234) × cos(0.05213172) × R
    0.000766989999999995 × 0.998641449606272 × 6371000     		do = 4879.85474261689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05292234) × cos(0.05136575) × R
    0.000766989999999995 × 0.998681069894921 × 6371000     		du = 4880.04834689152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05213172)-sin(0.05136575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998641449606272-0.998681069894921)×R²
    abs(0.05292234-0.05215535)×3.96202886490116e-05×R²
    0.000766989999999995×3.96202886490116e-05×6371000²
    0.000766989999999995×3.96202886490116e-05×40589641000000     		ar = 23814139.6685819m²