Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4162 / 4286
↖ ↑ ↗
← S  8.320212°
E  2.900391°		 ← 4 835.06 m → S  8.320212°
E  2.944336°		 →
↑
4 834.76 m
↓
↑
4 834.76 m
↓
S  8.363692°
E  2.900391°		 ← 4 834.52 m →
23 375 069 m²		 S  8.363692°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50811767578125 y=0.52325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50811767578125 × 213)
    floor (0.50811767578125 × 8192)
    floor (4162.5)     		tx = 4162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52325439453125 × 213)
    floor (0.52325439453125 × 8192)
    floor (4286.5)     		ty = 4286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4162 / 4286 ti = "13/4162/4286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4162/4286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4162 ÷ 213
    4162 ÷ 8192     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4286 ÷ 213
    4286 ÷ 8192     		y = 0.523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145728174844971))-π/2
    2×atan(0.864392634915011)-π/2
    2×0.712790613940973-π/2
    1.42558122788195-1.57079632675     		φ = -0.14521510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14521510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.320212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4162 KachelY 4286 0.05062137 -0.14521510 2.900391 -8.320212
    Oben rechts KachelX + 1 4163 KachelY 4286 0.05138836 -0.14521510 2.944336 -8.320212
    Unten links KachelX 4162 KachelY + 1 4287 0.05062137 -0.14597397 2.900391 -8.363692
    Unten rechts KachelX + 1 4163 KachelY + 1 4287 0.05138836 -0.14597397 2.944336 -8.363692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14521510--0.14597397) × R
    0.000758869999999995 × 6371000     		dl = 4834.76076999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14521510--0.14597397) × R
    0.000758869999999995 × 6371000     		dr = 4834.76076999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05138836) × cos(-0.14521510) × R
    0.000766990000000002 × 0.989474802659769 × 6371000     		do = 4835.06198382105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05138836) × cos(-0.14597397) × R
    0.000766990000000002 × 0.989364705271577 × 6371000     		du = 4834.5239936724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14521510)-sin(-0.14597397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989474802659769-0.989364705271577)×R²
    abs(0.05138836-0.05062137)×0.000110097388191899×R²
    0.000766990000000002×0.000110097388191899×6371000²
    0.000766990000000002×0.000110097388191899×40589641000000     		ar = 23375068.5948398m²