Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4162 / 3998
↖ ↑ ↗
← N  4.302591°
E  2.900391°		 ← 4 872.72 m → N  4.302591°
E  2.944336°		 →
↑
4 872.86 m
↓
↑
4 872.86 m
↓
N  4.258768°
E  2.900391°		 ← 4 873 m →
23 744 769 m²		 N  4.258768°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50811767578125 y=0.48809814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50811767578125 × 213)
    floor (0.50811767578125 × 8192)
    floor (4162.5)     		tx = 4162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48809814453125 × 213)
    floor (0.48809814453125 × 8192)
    floor (3998.5)     		ty = 3998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4162 / 3998 ti = "13/4162/3998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4162/3998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4162 ÷ 213
    4162 ÷ 8192     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3998 ÷ 213
    3998 ÷ 8192     		y = 0.488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488037109375 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.075165058604248))-π/2
    2×atan(1.07806207962205)-π/2
    2×0.822945353727711-π/2
    1.64589070745542-1.57079632675     		φ = 0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4162 KachelY 3998 0.05062137 0.07509438 2.900391 4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 4163 KachelY 3998 0.05138836 0.07509438 2.944336 4.302591
    Unten links KachelX 4162 KachelY + 1 3999 0.05062137 0.07432953 2.900391 4.258768
    Unten rechts KachelX + 1 4163 KachelY + 1 3999 0.05138836 0.07432953 2.944336 4.258768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07509438-0.07432953) × R
    0.000764849999999997 × 6371000     		dl = 4872.85934999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07509438-0.07432953) × R
    0.000764849999999997 × 6371000     		dr = 4872.85934999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05138836) × cos(0.07509438) × R
    0.000766990000000002 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 4872.72189024151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05138836) × cos(0.07432953) × R
    0.000766990000000002 × 0.997238832096132 × 6371000     		du = 4873.0008615652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07509438)-sin(0.07432953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997238832096132)×R²
    abs(0.05138836-0.05062137)×5.70902909582394e-05×R²
    0.000766990000000002×5.70902909582394e-05×6371000²
    0.000766990000000002×5.70902909582394e-05×40589641000000     		ar = 23744769.2743732m²