Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41609 / 42703
↖ ↑ ↗
← S 47.809466°
E 48.565064°		 ← 410.20 m → S 47.809466°
E 48.570556°		 →
↑
410.16 m
↓
↑
410.16 m
↓
S 47.813154°
E 48.565064°		 ← 410.17 m →
168 245 m²		 S 47.813154°
E 48.570556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634910583496094 y=0.651603698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634910583496094 × 216)
    floor (0.634910583496094 × 65536)
    floor (41609.5)     		tx = 41609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651603698730469 × 216)
    floor (0.651603698730469 × 65536)
    floor (42703.5)     		ty = 42703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41609 / 42703 ti = "16/41609/42703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41609/42703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41609 ÷ 216
    41609 ÷ 65536     		x = 0.634902954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42703 ÷ 216
    42703 ÷ 65536     		y = 0.651596069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634902954101562 × 2 - 1) × π
    0.269805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84762026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651596069335938 × 2 - 1) × π
    -0.303192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.952506195450516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84762026} λ = 0.84762026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952506195450516))-π/2
    2×atan(0.385772988410191)-π/2
    2×0.36818187055066-π/2
    0.736363741101321-1.57079632675     		φ = -0.83443259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84762026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83443259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.809466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41609 KachelY 42703 0.84762026 -0.83443259 48.565064 -47.809466
    Oben rechts KachelX + 1 41610 KachelY 42703 0.84771613 -0.83443259 48.570556 -47.809466
    Unten links KachelX 41609 KachelY + 1 42704 0.84762026 -0.83449697 48.565064 -47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 41610 KachelY + 1 42704 0.84771613 -0.83449697 48.570556 -47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83443259--0.83449697) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dl = 410.164979999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83443259--0.83449697) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dr = 410.164979999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84762026-0.84771613) × cos(-0.83443259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671598193646788 × 6371000     		do = 410.203963033541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84762026-0.84771613) × cos(-0.83449697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 410.174827519046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83443259)-sin(-0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671598193646788-0.671550492111287)×R²
    abs(0.84771613-0.84762026)×4.77015355017096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77015355017096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77015355017096e-05×40589641000000     		ar = 168245.325167783m²