Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4152 / 3960
↖ ↑ ↗
← N  5.965753°
E  2.460937°		 ← 4 860.03 m → N  5.965753°
E  2.504883°		 →
↑
4 860.18 m
↓
↑
4 860.18 m
↓
N  5.922045°
E  2.460937°		 ← 4 860.42 m →
23 621 560 m²		 N  5.922045°
E  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50689697265625 y=0.48345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50689697265625 × 213)
    floor (0.50689697265625 × 8192)
    floor (4152.5)     		tx = 4152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48345947265625 × 213)
    floor (0.48345947265625 × 8192)
    floor (3960.5)     		ty = 3960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4152 / 3960 ti = "13/4152/3960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4152/3960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4152 ÷ 213
    4152 ÷ 8192     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3960 ÷ 213
    3960 ÷ 8192     		y = 0.4833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.104310693573242))-π/2
    2×atan(1.10994525420648)-π/2
    2×0.837459185357482-π/2
    1.67491837071496-1.57079632675     		φ = 0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4152 KachelY 3960 0.04295146 0.10412204 2.460937 5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 4153 KachelY 3960 0.04371845 0.10412204 2.504883 5.965753
    Unten links KachelX 4152 KachelY + 1 3961 0.04295146 0.10335918 2.460937 5.922045
    Unten rechts KachelX + 1 4153 KachelY + 1 3961 0.04371845 0.10335918 2.504883 5.922045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10412204-0.10335918) × R
    0.000762860000000004 × 6371000     		dl = 4860.18106000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10412204-0.10335918) × R
    0.000762860000000004 × 6371000     		dr = 4860.18106000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04371845) × cos(0.10412204) × R
    0.000766990000000002 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 4860.02899987108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04371845) × cos(0.10335918) × R
    0.000766990000000002 × 0.994663193639064 × 6371000     		du = 4860.41502152727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10412204)-sin(0.10335918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.994663193639064)×R²
    abs(0.04371845-0.04295146)×7.89976846946594e-05×R²
    0.000766990000000002×7.89976846946594e-05×6371000²
    0.000766990000000002×7.89976846946594e-05×40589641000000     		ar = 23621560.1093531m²