Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4151 / 2775
↖ ↑ ↗
← N 50.092393°
E  2.416992°		 ← 3 134.94 m → N 50.092393°
E  2.460937°		 →
↑
3 135.87 m
↓
↑
3 135.87 m
↓
N 50.064192°
E  2.416992°		 ← 3 136.78 m →
9 833 647 m²		 N 50.064192°
E  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50677490234375 y=0.33880615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50677490234375 × 213)
    floor (0.50677490234375 × 8192)
    floor (4151.5)     		tx = 4151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33880615234375 × 213)
    floor (0.33880615234375 × 8192)
    floor (2775.5)     		ty = 2775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4151 / 2775 ti = "13/4151/2775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4151/2775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4151 ÷ 213
    4151 ÷ 8192     		x = 0.5067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2775 ÷ 213
    2775 ÷ 8192     		y = 0.3387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5067138671875 × 2 - 1) × π
    0.013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04218447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04218447} λ = 0.04218447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01319431036951))-π/2
    2×atan(2.75438533926941)-π/2
    2×1.22253675925543-π/2
    2.44507351851085-1.57079632675     		φ = 0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04218447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4151 KachelY 2775 0.04218447 0.87427719 2.416992 50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 4152 KachelY 2775 0.04295146 0.87427719 2.460937 50.092393
    Unten links KachelX 4151 KachelY + 1 2776 0.04218447 0.87378498 2.416992 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 4152 KachelY + 1 2776 0.04295146 0.87378498 2.460937 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87427719-0.87378498) × R
    0.000492209999999993 × 6371000     		dl = 3135.86990999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87427719-0.87378498) × R
    0.000492209999999993 × 6371000     		dr = 3135.86990999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04218447-0.04295146) × cos(0.87427719) × R
    0.000766989999999995 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 3134.93699628758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04218447-0.04295146) × cos(0.87378498) × R
    0.000766989999999995 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 3136.78158255597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87427719)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.641928965496643)×R²
    abs(0.04295146-0.04218447)×0.000377486708549091×R²
    0.000766989999999995×0.000377486708549091×6371000²
    0.000766989999999995×0.000377486708549091×40589641000000     		ar = 9833646.98622427m²