Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41474 / 42498
↖ ↑ ↗
← S 47.047668°
E 47.823487°		 ← 416.18 m → S 47.047668°
E 47.828979°		 →
↑
416.22 m
↓
↑
416.22 m
↓
S 47.051412°
E 47.823487°		 ← 416.16 m →
173 217 m²		 S 47.051412°
E 47.828979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632850646972656 y=0.648475646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632850646972656 × 216)
    floor (0.632850646972656 × 65536)
    floor (41474.5)     		tx = 41474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648475646972656 × 216)
    floor (0.648475646972656 × 65536)
    floor (42498.5)     		ty = 42498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41474 / 42498 ti = "16/41474/42498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41474/42498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41474 ÷ 216
    41474 ÷ 65536     		x = 0.632843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42498 ÷ 216
    42498 ÷ 65536     		y = 0.648468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632843017578125 × 2 - 1) × π
    0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.29693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.932852066606293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83467730} λ = 0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932852066606293))-π/2
    2×atan(0.393430020091325)-π/2
    2×0.374829801824869-π/2
    0.749659603649739-1.57079632675     		φ = -0.82113672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82113672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.047668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41474 KachelY 42498 0.83467730 -0.82113672 47.823487 -47.047668
    Oben rechts KachelX + 1 41475 KachelY 42498 0.83477317 -0.82113672 47.828979 -47.047668
    Unten links KachelX 41474 KachelY + 1 42499 0.83467730 -0.82120205 47.823487 -47.051412
    Unten rechts KachelX + 1 41475 KachelY + 1 42499 0.83477317 -0.82120205 47.828979 -47.051412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82113672--0.82120205) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dl = 416.217429999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82113672--0.82120205) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dr = 416.217429999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83467730-0.83477317) × cos(-0.82113672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681389658619029 × 6371000     		do = 416.184470088969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83467730-0.83477317) × cos(-0.82120205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681341840775734 × 6371000     		du = 416.155263535096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82113672)-sin(-0.82120205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681389658619029-0.681341840775734)×R²
    abs(0.83477317-0.83467730)×4.78178432948839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78178432948839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78178432948839e-05×40589641000000     		ar = 173217.15246961m²