Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4121 / 3004
↖ ↑ ↗
← N 43.197167°
E  1.098633°		 ← 3 562.27 m → N 43.197167°
E  1.142578°		 →
↑
3 563.24 m
↓
↑
3 563.24 m
↓
N 43.165123°
E  1.098633°		 ← 3 564.14 m →
12 696 528 m²		 N 43.165123°
E  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50311279296875 y=0.36676025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50311279296875 × 213)
    floor (0.50311279296875 × 8192)
    floor (4121.5)     		tx = 4121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36676025390625 × 213)
    floor (0.36676025390625 × 8192)
    floor (3004.5)     		ty = 3004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4121 / 3004 ti = "13/4121/3004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4121/3004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4121 ÷ 213
    4121 ÷ 8192     		x = 0.5030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3004 ÷ 213
    3004 ÷ 8192     		y = 0.36669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5030517578125 × 2 - 1) × π
    0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36669921875 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01917476} λ = 0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837553510161621))-π/2
    2×atan(2.31070693495094)-π/2
    2×1.16236456169593-π/2
    2.32472912339186-1.57079632675     		φ = 0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4121 KachelY 3004 0.01917476 0.75393280 1.098633 43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 4122 KachelY 3004 0.01994175 0.75393280 1.142578 43.197167
    Unten links KachelX 4121 KachelY + 1 3005 0.01917476 0.75337351 1.098633 43.165123
    Unten rechts KachelX + 1 4122 KachelY + 1 3005 0.01994175 0.75337351 1.142578 43.165123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75393280-0.75337351) × R
    0.00055928999999999 × 6371000     		dl = 3563.23658999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75393280-0.75337351) × R
    0.00055928999999999 × 6371000     		dr = 3563.23658999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01917476-0.01994175) × cos(0.75393280) × R
    0.000766990000000002 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 3562.26567018654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01917476-0.01994175) × cos(0.75337351) × R
    0.000766990000000002 × 0.72938519454798 × 6371000     		du = 3564.13585898406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75393280)-sin(0.75337351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.72938519454798)×R²
    abs(0.01994175-0.01917476)×0.000382726156882618×R²
    0.000766990000000002×0.000382726156882618×6371000²
    0.000766990000000002×0.000382726156882618×40589641000000     		ar = 12696527.6728492m²