Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4117 / 2789
↖ ↑ ↗
← N 49.696062°
E  0.922852°		 ← 3 160.79 m → N 49.696062°
E  0.966797°		 →
↑
3 161.67 m
↓
↑
3 161.67 m
↓
N 49.667628°
E  0.922852°		 ← 3 162.64 m →
9 996 306 m²		 N 49.667628°
E  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50262451171875 y=0.34051513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50262451171875 × 213)
    floor (0.50262451171875 × 8192)
    floor (4117.5)     		tx = 4117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34051513671875 × 213)
    floor (0.34051513671875 × 8192)
    floor (2789.5)     		ty = 2789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4117 / 2789 ti = "13/4117/2789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4117/2789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4117 ÷ 213
    4117 ÷ 8192     		x = 0.5025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2789 ÷ 213
    2789 ÷ 8192     		y = 0.3404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01610680} λ = 0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00245644485461))-π/2
    2×atan(2.72496734581054)-π/2
    2×1.21907811539729-π/2
    2.43815623079457-1.57079632675     		φ = 0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4117 KachelY 2789 0.01610680 0.86735990 0.922852 49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 4118 KachelY 2789 0.01687379 0.86735990 0.966797 49.696062
    Unten links KachelX 4117 KachelY + 1 2790 0.01610680 0.86686364 0.922852 49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 4118 KachelY + 1 2790 0.01687379 0.86686364 0.966797 49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86735990-0.86686364) × R
    0.000496259999999915 × 6371000     		dl = 3161.67245999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86735990-0.86686364) × R
    0.000496259999999915 × 6371000     		dr = 3161.67245999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01610680-0.01687379) × cos(0.86735990) × R
    0.000766989999999999 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 3160.7900820193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01610680-0.01687379) × cos(0.86686364) × R
    0.000766989999999999 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 3162.63903362081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86735990)-sin(0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.647220582517329)×R²
    abs(0.01687379-0.01610680)×0.000378380055345295×R²
    0.000766989999999999×0.000378380055345295×6371000²
    0.000766989999999999×0.000378380055345295×40589641000000     		ar = 9996306.04899001m²