Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4111 / 2865
↖ ↑ ↗
← N 47.487513°
E  0.659180°		 ← 3 302.05 m → N 47.487513°
E  0.703125°		 →
↑
3 303.04 m
↓
↑
3 303.04 m
↓
N 47.457808°
E  0.659180°		 ← 3 303.92 m →
10 909 910 m²		 N 47.457808°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50189208984375 y=0.34979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50189208984375 × 213)
    floor (0.50189208984375 × 8192)
    floor (4111.5)     		tx = 4111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34979248046875 × 213)
    floor (0.34979248046875 × 8192)
    floor (2865.5)     		ty = 2865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4111 / 2865 ti = "13/4111/2865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4111/2865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4111 ÷ 213
    4111 ÷ 8192     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2865 ÷ 213
    2865 ÷ 8192     		y = 0.3497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3497314453125 × 2 - 1) × π
    0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944165174916626))-π/2
    2×atan(2.57066642573478)-π/2
    2×1.1998048911833-π/2
    2.39960978236659-1.57079632675     		φ = 0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4111 KachelY 2865 0.01150486 0.82881346 0.659180 47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 4112 KachelY 2865 0.01227185 0.82881346 0.703125 47.487513
    Unten links KachelX 4111 KachelY + 1 2866 0.01150486 0.82829501 0.659180 47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 4112 KachelY + 1 2866 0.01227185 0.82829501 0.703125 47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82881346-0.82829501) × R
    0.000518449999999948 × 6371000     		dl = 3303.04494999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82881346-0.82829501) × R
    0.000518449999999948 × 6371000     		dr = 3303.04494999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(0.82881346) × R
    0.00076699 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 3302.05209139914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01227185) × cos(0.82829501) × R
    0.00076699 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 3303.91909469542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82881346)-sin(0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.676132944141508)×R²
    abs(0.01227185-0.01150486)×0.000382074257648801×R²
    0.00076699×0.000382074257648801×6371000²
    0.00076699×0.000382074257648801×40589641000000     		ar = 10909910.1274084m²