Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4110 / 3026
↖ ↑ ↗
← N 42.488302°
E  0.615235°		 ← 3 603.37 m → N 42.488302°
E  0.659180°		 →
↑
3 604.27 m
↓
↑
3 604.27 m
↓
N 42.455888°
E  0.615235°		 ← 3 605.24 m →
12 990 885 m²		 N 42.455888°
E  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50177001953125 y=0.36944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50177001953125 × 213)
    floor (0.50177001953125 × 8192)
    floor (4110.5)     		tx = 4110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36944580078125 × 213)
    floor (0.36944580078125 × 8192)
    floor (3026.5)     		ty = 3026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4110 / 3026 ti = "13/4110/3026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4110/3026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4110 ÷ 213
    4110 ÷ 8192     		x = 0.501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3026 ÷ 213
    3026 ÷ 8192     		y = 0.369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369384765625 × 2 - 1) × π
    0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01073787} λ = 0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820679721495361))-π/2
    2×atan(2.27204366970571)-π/2
    2×1.15617854495164-π/2
    2.31235708990328-1.57079632675     		φ = 0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4110 KachelY 3026 0.01073787 0.74156076 0.615235 42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 4111 KachelY 3026 0.01150486 0.74156076 0.659180 42.488302
    Unten links KachelX 4110 KachelY + 1 3027 0.01073787 0.74099503 0.615235 42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 4111 KachelY + 1 3027 0.01150486 0.74099503 0.659180 42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74156076-0.74099503) × R
    0.000565730000000042 × 6371000     		dl = 3604.26583000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74156076-0.74099503) × R
    0.000565730000000042 × 6371000     		dr = 3604.26583000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01073787-0.01150486) × cos(0.74156076) × R
    0.00076699 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 3603.37471070695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01073787-0.01150486) × cos(0.74099503) × R
    0.00076699 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 3605.24134359219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74156076)-sin(0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.737797256566414)×R²
    abs(0.01150486-0.01073787)×0.000381998454609844×R²
    0.00076699×0.000381998454609844×6371000²
    0.00076699×0.000381998454609844×40589641000000     		ar = 12990884.6095287m²