Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 411 / 476
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E108.984375°		 ← 10.464 km → S 82.308893°
E109.687500°		 →
↑
10.400 km
↓
↑
10.400 km
↓
S 82.402423°
E108.984375°		 ← 10.337 km →
108.165 km²		 S 82.402423°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8037109375 y=0.9306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8037109375 × 29)
    floor (0.8037109375 × 512)
    floor (411.5)     		tx = 411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9306640625 × 29)
    floor (0.9306640625 × 512)
    floor (476.5)     		ty = 476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 411 / 476 ti = "9/411/476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/411/476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 411 ÷ 29
    411 ÷ 512     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 476 ÷ 29
    476 ÷ 512     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 411 KachelY 476 1.90213618 -1.43656118 108.984375 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 412 KachelY 476 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Unten links KachelX 411 KachelY + 1 477 1.90213618 -1.43819360 108.984375 -82.402423
    Unten rechts KachelX + 1 412 KachelY + 1 477 1.91440802 -1.43819360 109.687500 -82.402423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43819360) × R
    0.00163241999999997 × 6371000     		dl = 10400.1478199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43819360) × R
    0.00163241999999997 × 6371000     		dr = 10400.1478199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.91440802) × cos(-1.43656118) × R
    0.0122718399999999 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 10463.5362462904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.91440802) × cos(-1.43819360) × R
    0.0122718399999999 × 0.132214465332803 × 6371000     		du = 10337.0415630348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43819360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.132214465332803)×R²
    abs(1.91440802-1.90213618)×0.00161791232163425×R²
    0.0122718399999999×0.00161791232163425×6371000²
    0.0122718399999999×0.00161791232163425×40589641000000     		ar = 108164565.99885m²