Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 411 / 469
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E108.984375°		 ← 11.393 km → S 81.621352°
E109.687500°		 →
↑
11.324 km
↓
↑
11.324 km
↓
S 81.723188°
E108.984375°		 ← 11.255 km →
128.226 km²		 S 81.723188°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8037109375 y=0.9169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8037109375 × 29)
    floor (0.8037109375 × 512)
    floor (411.5)     		tx = 411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9169921875 × 29)
    floor (0.9169921875 × 512)
    floor (469.5)     		ty = 469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 411 / 469 ti = "9/411/469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/411/469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 411 ÷ 29
    411 ÷ 512     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 469 ÷ 29
    469 ÷ 512     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 411 KachelY 469 1.90213618 -1.42456133 108.984375 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 412 KachelY 469 1.91440802 -1.42456133 109.687500 -81.621352
    Unten links KachelX 411 KachelY + 1 470 1.90213618 -1.42633870 108.984375 -81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 412 KachelY + 1 470 1.91440802 -1.42633870 109.687500 -81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42633870) × R
    0.00177737000000011 × 6371000     		dl = 11323.6242700007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42633870) × R
    0.00177737000000011 × 6371000     		dr = 11323.6242700007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.91440802) × cos(-1.42456133) × R
    0.0122718399999999 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 11392.515552399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.91440802) × cos(-1.42633870) × R
    0.0122718399999999 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 11255.0191042611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.143955726994628)×R²
    abs(1.91440802-1.90213618)×0.00175862883638989×R²
    0.0122718399999999×0.00175862883638989×6371000²
    0.0122718399999999×0.00175862883638989×40589641000000     		ar = 128226120.302921m²