Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4109 / 3022
↖ ↑ ↗
← N 42.617791°
E  0.571289°		 ← 3 595.91 m → N 42.617791°
E  0.615235°		 →
↑
3 596.81 m
↓
↑
3 596.81 m
↓
N 42.585445°
E  0.571289°		 ← 3 597.77 m →
12 937 157 m²		 N 42.585445°
E  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50164794921875 y=0.36895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50164794921875 × 213)
    floor (0.50164794921875 × 8192)
    floor (4109.5)     		tx = 4109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36895751953125 × 213)
    floor (0.36895751953125 × 8192)
    floor (3022.5)     		ty = 3022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4109 / 3022 ti = "13/4109/3022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4109/3022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4109 ÷ 213
    4109 ÷ 8192     		x = 0.5015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3022 ÷ 213
    3022 ÷ 8192     		y = 0.368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    0.003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00997088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368896484375 × 2 - 1) × π
    0.26220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.823747683071045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00997088} λ = 0.00997088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823747683071045))-π/2
    2×atan(2.27902491600449)-π/2
    2×1.15730855360429-π/2
    2.31461710720857-1.57079632675     		φ = 0.74382078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00997088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74382078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.617791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4109 KachelY 3022 0.00997088 0.74382078 0.571289 42.617791
    Oben rechts KachelX + 1 4110 KachelY 3022 0.01073787 0.74382078 0.615235 42.617791
    Unten links KachelX 4109 KachelY + 1 3023 0.00997088 0.74325622 0.571289 42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 4110 KachelY + 1 3023 0.01073787 0.74325622 0.615235 42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74382078-0.74325622) × R
    0.000564559999999936 × 6371000     		dl = 3596.81175999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74382078-0.74325622) × R
    0.000564559999999936 × 6371000     		dr = 3596.81175999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00997088-0.01073787) × cos(0.74382078) × R
    0.00076699 × 0.735886869022593 × 6371000     		do = 3595.90624767801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00997088-0.01073787) × cos(0.74325622) × R
    0.00076699 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 3597.77361535878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74382078)-sin(0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735886869022593-0.736269017849973)×R²
    abs(0.01073787-0.00997088)×0.000382148827379969×R²
    0.00076699×0.000382148827379969×6371000²
    0.00076699×0.000382148827379969×40589641000000     		ar = 12937156.5081426m²