Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4105 / 3017
↖ ↑ ↗
← N 42.779276°
E  0.395508°		 ← 3 586.57 m → N 42.779276°
E  0.439453°		 →
↑
3 587.51 m
↓
↑
3 587.51 m
↓
N 42.747012°
E  0.395508°		 ← 3 588.43 m →
12 870 196 m²		 N 42.747012°
E  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50115966796875 y=0.36834716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50115966796875 × 213)
    floor (0.50115966796875 × 8192)
    floor (4105.5)     		tx = 4105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36834716796875 × 213)
    floor (0.36834716796875 × 8192)
    floor (3017.5)     		ty = 3017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4105 / 3017 ti = "13/4105/3017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4105/3017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4105 ÷ 213
    4105 ÷ 8192     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3017 ÷ 213
    3017 ÷ 8192     		y = 0.3682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3682861328125 × 2 - 1) × π
    0.263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.827582635040649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827582635040649))-π/2
    2×atan(2.28778164718464)-π/2
    2×1.15871776671552-π/2
    2.31743553343104-1.57079632675     		φ = 0.74663921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74663921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.779276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4105 KachelY 3017 0.00690291 0.74663921 0.395508 42.779276
    Oben rechts KachelX + 1 4106 KachelY 3017 0.00766990 0.74663921 0.439453 42.779276
    Unten links KachelX 4105 KachelY + 1 3018 0.00690291 0.74607611 0.395508 42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 4106 KachelY + 1 3018 0.00766990 0.74607611 0.439453 42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74663921-0.74607611) × R
    0.000563100000000039 × 6371000     		dl = 3587.51010000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74663921-0.74607611) × R
    0.000563100000000039 × 6371000     		dr = 3587.51010000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00766990) × cos(0.74663921) × R
    0.00076699 × 0.733975577113781 × 6371000     		do = 3586.56673259037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00766990) × cos(0.74607611) × R
    0.00076699 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 3588.43497356326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74663921)-sin(0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733975577113781-0.734357904656667)×R²
    abs(0.00766990-0.00690291)×0.000382327542886141×R²
    0.00076699×0.000382327542886141×6371000²
    0.00076699×0.000382327542886141×40589641000000     		ar = 12870195.8842464m²