Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4104 / 3016
↖ ↑ ↗
← N 42.811522°
E  0.351562°		 ← 3 584.70 m → N 42.811522°
E  0.395508°		 →
↑
3 585.60 m
↓
↑
3 585.60 m
↓
N 42.779276°
E  0.351562°		 ← 3 586.57 m →
12 856 640 m²		 N 42.779276°
E  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50103759765625 y=0.36822509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50103759765625 × 213)
    floor (0.50103759765625 × 8192)
    floor (4104.5)     		tx = 4104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36822509765625 × 213)
    floor (0.36822509765625 × 8192)
    floor (3016.5)     		ty = 3016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4104 / 3016 ti = "13/4104/3016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4104/3016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4104 ÷ 213
    4104 ÷ 8192     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3016 ÷ 213
    3016 ÷ 8192     		y = 0.3681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    0.263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82834962543457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82834962543457))-π/2
    2×atan(2.28953702682503)-π/2
    2×1.15899916950932-π/2
    2.31799833901863-1.57079632675     		φ = 0.74720201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74720201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.811522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4104 KachelY 3016 0.00613592 0.74720201 0.351562 42.811522
    Oben rechts KachelX + 1 4105 KachelY 3016 0.00690291 0.74720201 0.395508 42.811522
    Unten links KachelX 4104 KachelY + 1 3017 0.00613592 0.74663921 0.351562 42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 4105 KachelY + 1 3017 0.00690291 0.74663921 0.395508 42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74720201-0.74663921) × R
    0.000562799999999974 × 6371000     		dl = 3585.59879999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74720201-0.74663921) × R
    0.000562799999999974 × 6371000     		dr = 3585.59879999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00690291) × cos(0.74720201) × R
    0.00076699 × 0.733593220717427 × 6371000     		do = 3584.6983506252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00690291) × cos(0.74663921) × R
    0.00076699 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 3586.56673259037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74720201)-sin(0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733593220717427-0.733975577113781)×R²
    abs(0.00690291-0.00613592)×0.000382356396353645×R²
    0.00076699×0.000382356396353645×6371000²
    0.00076699×0.000382356396353645×40589641000000     		ar = 12856640.077787m²