Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4103 / 3014
↖ ↑ ↗
← N 42.875964°
E  0.307617°		 ← 3 580.96 m → N 42.875964°
E  0.351562°		 →
↑
3 581.90 m
↓
↑
3 581.90 m
↓
N 42.843751°
E  0.307617°		 ← 3 582.83 m →
12 830 005 m²		 N 42.843751°
E  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50091552734375 y=0.36798095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50091552734375 × 213)
    floor (0.50091552734375 × 8192)
    floor (4103.5)     		tx = 4103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36798095703125 × 213)
    floor (0.36798095703125 × 8192)
    floor (3014.5)     		ty = 3014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4103 / 3014 ti = "13/4103/3014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4103/3014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4103 ÷ 213
    4103 ÷ 8192     		x = 0.5008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3014 ÷ 213
    3014 ÷ 8192     		y = 0.367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5008544921875 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367919921875 × 2 - 1) × π
    0.26416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.829883606222412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00536893} λ = 0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829883606222412))-π/2
    2×atan(2.29305182776657)-π/2
    2×1.15956153516549-π/2
    2.31912307033098-1.57079632675     		φ = 0.74832674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74832674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.875964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4103 KachelY 3014 0.00536893 0.74832674 0.307617 42.875964
    Oben rechts KachelX + 1 4104 KachelY 3014 0.00613592 0.74832674 0.351562 42.875964
    Unten links KachelX 4103 KachelY + 1 3015 0.00536893 0.74776452 0.307617 42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 4104 KachelY + 1 3015 0.00613592 0.74776452 0.351562 42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74832674-0.74776452) × R
    0.000562219999999947 × 6371000     		dl = 3581.90361999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74832674-0.74776452) × R
    0.000562219999999947 × 6371000     		dr = 3581.90361999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00536893-0.00613592) × cos(0.74832674) × R
    0.00076699 × 0.732828402922542 × 6371000     		do = 3580.96107360242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00536893-0.00613592) × cos(0.74776452) × R
    0.00076699 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 3582.82979684752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74832674)-sin(0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732828402922542-0.733210829160377)×R²
    abs(0.00613592-0.00536893)×0.000382426237835021×R²
    0.00076699×0.000382426237835021×6371000²
    0.00076699×0.000382426237835021×40589641000000     		ar = 12830004.5638467m²