Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4102 / 3030
↖ ↑ ↗
← N 42.358544°
E  0.263672°		 ← 3 610.84 m → N 42.358544°
E  0.307617°		 →
↑
3 611.78 m
↓
↑
3 611.78 m
↓
N 42.326062°
E  0.263672°		 ← 3 612.71 m →
13 044 943 m²		 N 42.326062°
E  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50079345703125 y=0.36993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50079345703125 × 213)
    floor (0.50079345703125 × 8192)
    floor (4102.5)     		tx = 4102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36993408203125 × 213)
    floor (0.36993408203125 × 8192)
    floor (3030.5)     		ty = 3030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4102 / 3030 ti = "13/4102/3030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4102/3030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4102 ÷ 213
    4102 ÷ 8192     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3030 ÷ 213
    3030 ÷ 8192     		y = 0.369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369873046875 × 2 - 1) × π
    0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817611759919678))-π/2
    2×atan(2.2650838087808)-π/2
    2×1.15504619224428-π/2
    2.31009238448857-1.57079632675     		φ = 0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4102 KachelY 3030 0.00460194 0.73929606 0.263672 42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 4103 KachelY 3030 0.00536893 0.73929606 0.307617 42.358544
    Unten links KachelX 4102 KachelY + 1 3031 0.00460194 0.73872915 0.263672 42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 4103 KachelY + 1 3031 0.00536893 0.73872915 0.307617 42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73929606-0.73872915) × R
    0.000566910000000087 × 6371000     		dl = 3611.78361000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73929606-0.73872915) × R
    0.000566910000000087 × 6371000     		dr = 3611.78361000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00536893) × cos(0.73929606) × R
    0.00076699 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 3610.84017711668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00536893) × cos(0.73872915) × R
    0.00076699 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 3612.70606992196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73929606)-sin(0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.739324880956086)×R²
    abs(0.00536893-0.00460194)×0.000381847000405×R²
    0.00076699×0.000381847000405×6371000²
    0.00076699×0.000381847000405×40589641000000     		ar = 13044943.3199393m²