Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4101 / 2693
↖ ↑ ↗
← N 52.348763°
E  0.219726°		 ← 2 984.93 m → N 52.348763°
E  0.263672°		 →
↑
2 985.83 m
↓
↑
2 985.83 m
↓
N 52.321911°
E  0.219726°		 ← 2 986.74 m →
8 915 212 m²		 N 52.321911°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50067138671875 y=0.32879638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50067138671875 × 213)
    floor (0.50067138671875 × 8192)
    floor (4101.5)     		tx = 4101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32879638671875 × 213)
    floor (0.32879638671875 × 8192)
    floor (2693.5)     		ty = 2693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4101 / 2693 ti = "13/4101/2693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4101/2693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4101 ÷ 213
    4101 ÷ 8192     		x = 0.5006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2693 ÷ 213
    2693 ÷ 8192     		y = 0.3287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5006103515625 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3287353515625 × 2 - 1) × π
    0.342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07608752267102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00383495} λ = 0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07608752267102))-π/2
    2×atan(2.93318106752668)-π/2
    2×1.24222730182429-π/2
    2.48445460364858-1.57079632675     		φ = 0.91365828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91365828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.348763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4101 KachelY 2693 0.00383495 0.91365828 0.219726 52.348763
    Oben rechts KachelX + 1 4102 KachelY 2693 0.00460194 0.91365828 0.263672 52.348763
    Unten links KachelX 4101 KachelY + 1 2694 0.00383495 0.91318962 0.219726 52.321911
    Unten rechts KachelX + 1 4102 KachelY + 1 2694 0.00460194 0.91318962 0.263672 52.321911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91365828-0.91318962) × R
    0.00046866000000001 × 6371000     		dl = 2985.83286000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91365828-0.91318962) × R
    0.00046866000000001 × 6371000     		dr = 2985.83286000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00383495-0.00460194) × cos(0.91365828) × R
    0.00076699 × 0.610853423311212 × 6371000     		do = 2984.93115418376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00383495-0.00460194) × cos(0.91318962) × R
    0.00076699 × 0.611224414818064 × 6371000     		du = 2986.74400169265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91365828)-sin(0.91318962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610853423311212-0.611224414818064)×R²
    abs(0.00460194-0.00383495)×0.000370991506852825×R²
    0.00076699×0.000370991506852825×6371000²
    0.00076699×0.000370991506852825×40589641000000     		ar = 8915212.1180086m²