Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4098 / 3031
↖ ↑ ↗
← N 42.326062°
E  0.087891°		 ← 3 612.71 m → N 42.326062°
E  0.131836°		 →
↑
3 613.63 m
↓
↑
3 613.63 m
↓
N 42.293564°
E  0.087891°		 ← 3 614.57 m →
13 058 359 m²		 N 42.293564°
E  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50030517578125 y=0.37005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50030517578125 × 213)
    floor (0.50030517578125 × 8192)
    floor (4098.5)     		tx = 4098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37005615234375 × 213)
    floor (0.37005615234375 × 8192)
    floor (3031.5)     		ty = 3031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4098 / 3031 ti = "13/4098/3031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4098/3031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4098 ÷ 213
    4098 ÷ 8192     		x = 0.500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3031 ÷ 213
    3031 ÷ 8192     		y = 0.3699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500244140625 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3699951171875 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.816844769525757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00153398} λ = 0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816844769525757))-π/2
    2×atan(2.26334717733299)-π/2
    2×1.15476273791998-π/2
    2.30952547583996-1.57079632675     		φ = 0.73872915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73872915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.326062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4098 KachelY 3031 0.00153398 0.73872915 0.087891 42.326062
    Oben rechts KachelX + 1 4099 KachelY 3031 0.00230097 0.73872915 0.131836 42.326062
    Unten links KachelX 4098 KachelY + 1 3032 0.00153398 0.73816195 0.087891 42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 4099 KachelY + 1 3032 0.00230097 0.73816195 0.131836 42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73872915-0.73816195) × R
    0.00056719999999999 × 6371000     		dl = 3613.63119999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73872915-0.73816195) × R
    0.00056719999999999 × 6371000     		dr = 3613.63119999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00153398-0.00230097) × cos(0.73872915) × R
    0.00076699 × 0.739324880956086 × 6371000     		do = 3612.70606992196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00153398-0.00230097) × cos(0.73816195) × R
    0.00076699 × 0.739706685496696 × 6371000     		du = 3614.57175524774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73872915)-sin(0.73816195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739324880956086-0.739706685496696)×R²
    abs(0.00230097-0.00153398)×0.00038180454061032×R²
    0.00076699×0.00038180454061032×6371000²
    0.00076699×0.00038180454061032×40589641000000     		ar = 13058358.6701393m²