Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4098 / 3025
↖ ↑ ↗
← N 42.520700°
E  0.087891°		 ← 3 601.51 m → N 42.520700°
E  0.131836°		 →
↑
3 602.48 m
↓
↑
3 602.48 m
↓
N 42.488302°
E  0.087891°		 ← 3 603.37 m →
12 977 730 m²		 N 42.488302°
E  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50030517578125 y=0.36932373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50030517578125 × 213)
    floor (0.50030517578125 × 8192)
    floor (4098.5)     		tx = 4098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36932373046875 × 213)
    floor (0.36932373046875 × 8192)
    floor (3025.5)     		ty = 3025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4098 / 3025 ti = "13/4098/3025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4098/3025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4098 ÷ 213
    4098 ÷ 8192     		x = 0.500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3025 ÷ 213
    3025 ÷ 8192     		y = 0.3692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500244140625 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3692626953125 × 2 - 1) × π
    0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00153398} λ = 0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821446711889282))-π/2
    2×atan(2.27378697383824)-π/2
    2×1.15646126690623-π/2
    2.31292253381246-1.57079632675     		φ = 0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4098 KachelY 3025 0.00153398 0.74212621 0.087891 42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 4099 KachelY 3025 0.00230097 0.74212621 0.131836 42.520700
    Unten links KachelX 4098 KachelY + 1 3026 0.00153398 0.74156076 0.087891 42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 4099 KachelY + 1 3026 0.00230097 0.74156076 0.131836 42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74212621-0.74156076) × R
    0.000565449999999967 × 6371000     		dl = 3602.48194999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74212621-0.74156076) × R
    0.000565449999999967 × 6371000     		dr = 3602.48194999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00153398-0.00230097) × cos(0.74212621) × R
    0.00076699 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 3601.50784927939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00153398-0.00230097) × cos(0.74156076) × R
    0.00076699 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 3603.37471070695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74212621)-sin(0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.737415258111804)×R²
    abs(0.00230097-0.00153398)×0.000382045224819882×R²
    0.00076699×0.000382045224819882×6371000²
    0.00076699×0.000382045224819882×40589641000000     		ar = 12977730.0328936m²