Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4097 / 3034
↖ ↑ ↗
← N 42.228518°
E  0.043945°		 ← 3 618.30 m → N 42.228518°
E  0.087891°		 →
↑
3 619.24 m
↓
↑
3 619.24 m
↓
N 42.195969°
E  0.043945°		 ← 3 620.17 m →
13 098 872 m²		 N 42.195969°
E  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50018310546875 y=0.37042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50018310546875 × 213)
    floor (0.50018310546875 × 8192)
    floor (4097.5)     		tx = 4097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37042236328125 × 213)
    floor (0.37042236328125 × 8192)
    floor (3034.5)     		ty = 3034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4097 / 3034 ti = "13/4097/3034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4097/3034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4097 ÷ 213
    4097 ÷ 8192     		x = 0.5001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3034 ÷ 213
    3034 ÷ 8192     		y = 0.370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5001220703125 × 2 - 1) × π
    0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370361328125 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00076699} λ = 0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814543798343994))-π/2
    2×atan(2.25814526772079)-π/2
    2×1.15391149643953-π/2
    2.30782299287907-1.57079632675     		φ = 0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4097 KachelY 3034 0.00076699 0.73702667 0.043945 42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 4098 KachelY 3034 0.00153398 0.73702667 0.087891 42.228518
    Unten links KachelX 4097 KachelY + 1 3035 0.00076699 0.73645859 0.043945 42.195969
    Unten rechts KachelX + 1 4098 KachelY + 1 3035 0.00153398 0.73645859 0.087891 42.195969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73702667-0.73645859) × R
    0.000568079999999971 × 6371000     		dl = 3619.23767999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73702667-0.73645859) × R
    0.000568079999999971 × 6371000     		dr = 3619.23767999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00076699-0.00153398) × cos(0.73702667) × R
    0.00076699 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 3618.30252676634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00076699-0.00153398) × cos(0.73645859) × R
    0.00076699 × 0.740851852913124 × 6371000     		du = 3620.16760814405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73702667)-sin(0.73645859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.740851852913124)×R²
    abs(0.00153398-0.00076699)×0.00038168094521418×R²
    0.00076699×0.00038168094521418×6371000²
    0.00076699×0.00038168094521418×40589641000000     		ar = 13098872.2811773m²