Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4094 / 2894
↖ ↑ ↗
← N 46.619261°
W  0.087891°		 ← 3 356.25 m → N 46.619261°
W  0.043945°		 →
↑
3 357.20 m
↓
↑
3 357.20 m
↓
N 46.589069°
W  0.087891°		 ← 3 358.13 m →
11 270 754 m²		 N 46.589069°
W  0.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49981689453125 y=0.35333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49981689453125 × 213)
    floor (0.49981689453125 × 8192)
    floor (4094.5)     		tx = 4094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35333251953125 × 213)
    floor (0.35333251953125 × 8192)
    floor (2894.5)     		ty = 2894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4094 / 2894 ti = "13/4094/2894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4094/2894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4094 ÷ 213
    4094 ÷ 8192     		x = 0.499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2894 ÷ 213
    2894 ÷ 8192     		y = 0.353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353271484375 × 2 - 1) × π
    0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00153398} λ = -0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92192245349292))-π/2
    2×atan(2.51411902393618)-π/2
    2×1.19222796335235-π/2
    2.38445592670469-1.57079632675     		φ = 0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4094 KachelY 2894 -0.00153398 0.81365960 -0.087891 46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 4095 KachelY 2894 -0.00076699 0.81365960 -0.043945 46.619261
    Unten links KachelX 4094 KachelY + 1 2895 -0.00153398 0.81313265 -0.087891 46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 4095 KachelY + 1 2895 -0.00076699 0.81313265 -0.043945 46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81365960-0.81313265) × R
    0.000526950000000026 × 6371000     		dl = 3357.19845000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81365960-0.81313265) × R
    0.000526950000000026 × 6371000     		dr = 3357.19845000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00153398--0.00076699) × cos(0.81365960) × R
    0.00076699 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 3356.25478784857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00153398--0.00076699) × cos(0.81313265) × R
    0.00076699 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 3358.12580089994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81365960)-sin(0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.687226115253693)×R²
    abs(-0.00076699--0.00153398)×0.000382894836916226×R²
    0.00076699×0.000382894836916226×6371000²
    0.00076699×0.000382894836916226×40589641000000     		ar = 11270754.3134296m²