Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4093 / 3027
↖ ↑ ↗
← N 42.455888°
W  0.131836°		 ← 3 605.24 m → N 42.455888°
W  0.087891°		 →
↑
3 606.18 m
↓
↑
3 606.18 m
↓
N 42.423457°
W  0.131836°		 ← 3 607.11 m →
13 004 505 m²		 N 42.423457°
W  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49969482421875 y=0.36956787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49969482421875 × 213)
    floor (0.49969482421875 × 8192)
    floor (4093.5)     		tx = 4093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36956787109375 × 213)
    floor (0.36956787109375 × 8192)
    floor (3027.5)     		ty = 3027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4093 / 3027 ti = "13/4093/3027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4093/3027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4093 ÷ 213
    4093 ÷ 8192     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3027 ÷ 213
    3027 ÷ 8192     		y = 0.3695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3695068359375 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81991273110144))-π/2
    2×atan(2.27030170215806)-π/2
    2×1.15589567649339-π/2
    2.31179135298678-1.57079632675     		φ = 0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4093 KachelY 3027 -0.00230097 0.74099503 -0.131836 42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 4094 KachelY 3027 -0.00153398 0.74099503 -0.087891 42.455888
    Unten links KachelX 4093 KachelY + 1 3028 -0.00230097 0.74042900 -0.131836 42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 4094 KachelY + 1 3028 -0.00153398 0.74042900 -0.087891 42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74099503-0.74042900) × R
    0.000566029999999995 × 6371000     		dl = 3606.17712999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74099503-0.74042900) × R
    0.000566029999999995 × 6371000     		dr = 3606.17712999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00153398) × cos(0.74099503) × R
    0.00076699 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 3605.24134359219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00153398) × cos(0.74042900) × R
    0.00076699 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 3607.1078115539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74099503)-sin(0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.738179221270127)×R²
    abs(-0.00153398--0.00230097)×0.000381964703713655×R²
    0.00076699×0.000381964703713655×6371000²
    0.00076699×0.000381964703713655×40589641000000     		ar = 13004504.6356414m²