Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4093 / 2852
↖ ↑ ↗
← N 47.872144°
W  0.131836°		 ← 3 277.80 m → N 47.872144°
W  0.087891°		 →
↑
3 278.71 m
↓
↑
3 278.71 m
↓
N 47.842658°
W  0.131836°		 ← 3 279.66 m →
10 749 997 m²		 N 47.842658°
W  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49969482421875 y=0.34820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49969482421875 × 213)
    floor (0.49969482421875 × 8192)
    floor (4093.5)     		tx = 4093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34820556640625 × 213)
    floor (0.34820556640625 × 8192)
    floor (2852.5)     		ty = 2852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4093 / 2852 ti = "13/4093/2852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4093/2852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4093 ÷ 213
    4093 ÷ 8192     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2852 ÷ 213
    2852 ÷ 8192     		y = 0.34814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954136050037598))-π/2
    2×atan(2.59642643112413)-π/2
    2×1.20316142951122-π/2
    2.40632285902243-1.57079632675     		φ = 0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4093 KachelY 2852 -0.00230097 0.83552653 -0.131836 47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 4094 KachelY 2852 -0.00153398 0.83552653 -0.087891 47.872144
    Unten links KachelX 4093 KachelY + 1 2853 -0.00230097 0.83501190 -0.131836 47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 4094 KachelY + 1 2853 -0.00153398 0.83501190 -0.087891 47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83552653-0.83501190) × R
    0.00051462999999996 × 6371000     		dl = 3278.70772999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83552653-0.83501190) × R
    0.00051462999999996 × 6371000     		dr = 3278.70772999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00153398) × cos(0.83552653) × R
    0.00076699 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 3277.79751727372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00153398) × cos(0.83501190) × R
    0.00076699 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 3279.66213663173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83552653)-sin(0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.00153398--0.00230097)×0.000381586394854416×R²
    0.00076699×0.000381586394854416×6371000²
    0.00076699×0.000381586394854416×40589641000000     		ar = 10749997.0654673m²