Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4092 / 2908
↖ ↑ ↗
← N 46.195042°
W  0.175781°		 ← 3 382.46 m → N 46.195042°
W  0.131836°		 →
↑
3 383.38 m
↓
↑
3 383.38 m
↓
N 46.164614°
W  0.175781°		 ← 3 384.33 m →
11 447 320 m²		 N 46.164614°
W  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49957275390625 y=0.35504150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49957275390625 × 213)
    floor (0.49957275390625 × 8192)
    floor (4092.5)     		tx = 4092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35504150390625 × 213)
    floor (0.35504150390625 × 8192)
    floor (2908.5)     		ty = 2908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4092 / 2908 ti = "13/4092/2908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4092/2908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4092 ÷ 213
    4092 ÷ 8192     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2908 ÷ 213
    2908 ÷ 8192     		y = 0.35498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35498046875 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.911184587978027))-π/2
    2×atan(2.48726717574104)-π/2
    2×1.18852595483521-π/2
    2.37705190967041-1.57079632675     		φ = 0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4092 KachelY 2908 -0.00306796 0.80625558 -0.175781 46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 4093 KachelY 2908 -0.00230097 0.80625558 -0.131836 46.195042
    Unten links KachelX 4092 KachelY + 1 2909 -0.00306796 0.80572452 -0.175781 46.164614
    Unten rechts KachelX + 1 4093 KachelY + 1 2909 -0.00230097 0.80572452 -0.131836 46.164614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80625558-0.80572452) × R
    0.000531059999999917 × 6371000     		dl = 3383.38325999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80625558-0.80572452) × R
    0.000531059999999917 × 6371000     		dr = 3383.38325999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00230097) × cos(0.80625558) × R
    0.00076699 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 3382.45815839175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00230097) × cos(0.80572452) × R
    0.00076699 × 0.692588796932904 × 6371000     		du = 3384.33050894181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80625558)-sin(0.80572452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.692588796932904)×R²
    abs(-0.00230097--0.00306796)×0.000383168550316837×R²
    0.00076699×0.000383168550316837×6371000²
    0.00076699×0.000383168550316837×40589641000000     		ar = 11447320.0195402m²