Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4091 / 2843
↖ ↑ ↗
← N 48.136767°
W  0.219726°		 ← 3 261.02 m → N 48.136767°
W  0.175781°		 →
↑
3 261.95 m
↓
↑
3 261.95 m
↓
N 48.107431°
W  0.219726°		 ← 3 262.89 m →
10 640 345 m²		 N 48.107431°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49945068359375 y=0.34710693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49945068359375 × 213)
    floor (0.49945068359375 × 8192)
    floor (4091.5)     		tx = 4091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34710693359375 × 213)
    floor (0.34710693359375 × 8192)
    floor (2843.5)     		ty = 2843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4091 / 2843 ti = "13/4091/2843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4091/2843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4091 ÷ 213
    4091 ÷ 8192     		x = 0.4993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2843 ÷ 213
    2843 ÷ 8192     		y = 0.3470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00383495} λ = -0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961038963582886))-π/2
    2×atan(2.61441134102863)-π/2
    2×1.20547069830075-π/2
    2.4109413966015-1.57079632675     		φ = 0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4091 KachelY 2843 -0.00383495 0.84014507 -0.219726 48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 4092 KachelY 2843 -0.00306796 0.84014507 -0.175781 48.136767
    Unten links KachelX 4091 KachelY + 1 2844 -0.00383495 0.83963307 -0.219726 48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 4092 KachelY + 1 2844 -0.00306796 0.83963307 -0.175781 48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84014507-0.83963307) × R
    0.000512000000000068 × 6371000     		dl = 3261.95200000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84014507-0.83963307) × R
    0.000512000000000068 × 6371000     		dr = 3261.95200000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00383495--0.00306796) × cos(0.84014507) × R
    0.00076699 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 3261.02472019778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00383495--0.00306796) × cos(0.83963307) × R
    0.00076699 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 3262.8875460502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84014507)-sin(0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667736012802383)×R²
    abs(-0.00306796--0.00383495)×0.000381219361589968×R²
    0.00076699×0.000381219361589968×6371000²
    0.00076699×0.000381219361589968×40589641000000     		ar = 10640344.5648001m²