Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4090 / 2891
↖ ↑ ↗
← N 46.709736°
W  0.263672°		 ← 3 350.64 m → N 46.709736°
W  0.219726°		 →
↑
3 351.53 m
↓
↑
3 351.53 m
↓
N 46.679595°
W  0.263672°		 ← 3 352.51 m →
11 232 908 m²		 N 46.679595°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49932861328125 y=0.35296630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49932861328125 × 213)
    floor (0.49932861328125 × 8192)
    floor (4090.5)     		tx = 4090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35296630859375 × 213)
    floor (0.35296630859375 × 8192)
    floor (2891.5)     		ty = 2891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4090 / 2891 ti = "13/4090/2891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4090/2891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4090 ÷ 213
    4090 ÷ 8192     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2891 ÷ 213
    2891 ÷ 8192     		y = 0.3529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3529052734375 × 2 - 1) × π
    0.294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.924223424674683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924223424674683))-π/2
    2×atan(2.51991059992723)-π/2
    2×1.19301750586899-π/2
    2.38603501173797-1.57079632675     		φ = 0.81523868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81523868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.709736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4090 KachelY 2891 -0.00460194 0.81523868 -0.263672 46.709736
    Oben rechts KachelX + 1 4091 KachelY 2891 -0.00383495 0.81523868 -0.219726 46.709736
    Unten links KachelX 4090 KachelY + 1 2892 -0.00460194 0.81471262 -0.263672 46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 4091 KachelY + 1 2892 -0.00383495 0.81471262 -0.219726 46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81523868-0.81471262) × R
    0.000526059999999995 × 6371000     		dl = 3351.52825999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81523868-0.81471262) × R
    0.000526059999999995 × 6371000     		dr = 3351.52825999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00383495) × cos(0.81523868) × R
    0.00076699 × 0.685694680376189 × 6371000     		do = 3350.64245464694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00383495) × cos(0.81471262) × R
    0.00076699 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 3352.51309486513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81523868)-sin(0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685694680376189-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.00383495--0.00460194)×0.000382818538198548×R²
    0.00076699×0.000382818538198548×6371000²
    0.00076699×0.000382818538198548×40589641000000     		ar = 11232907.8867298m²