Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4090 / 2842
↖ ↑ ↗
← N 48.166086°
W  0.263672°		 ← 3 259.16 m → N 48.166086°
W  0.219726°		 →
↑
3 260.10 m
↓
↑
3 260.10 m
↓
N 48.136767°
W  0.263672°		 ← 3 261.02 m →
10 628 245 m²		 N 48.136767°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49932861328125 y=0.34698486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49932861328125 × 213)
    floor (0.49932861328125 × 8192)
    floor (4090.5)     		tx = 4090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34698486328125 × 213)
    floor (0.34698486328125 × 8192)
    floor (2842.5)     		ty = 2842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4090 / 2842 ti = "13/4090/2842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4090/2842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4090 ÷ 213
    4090 ÷ 8192     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2842 ÷ 213
    2842 ÷ 8192     		y = 0.346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961805953976807))-π/2
    2×atan(2.61641733860505)-π/2
    2×1.20572655256758-π/2
    2.41145310513516-1.57079632675     		φ = 0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4090 KachelY 2842 -0.00460194 0.84065678 -0.263672 48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 4091 KachelY 2842 -0.00383495 0.84065678 -0.219726 48.166086
    Unten links KachelX 4090 KachelY + 1 2843 -0.00460194 0.84014507 -0.263672 48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 4091 KachelY + 1 2843 -0.00383495 0.84014507 -0.219726 48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84065678-0.84014507) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dl = 3260.10440999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84065678-0.84014507) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dr = 3260.10440999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00383495) × cos(0.84065678) × R
    0.00076699 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 3259.16209532957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00383495) × cos(0.84014507) × R
    0.00076699 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 3261.02472019777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84065678)-sin(0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.00383495--0.00460194)×0.000381178231025792×R²
    0.00076699×0.000381178231025792×6371000²
    0.00076699×0.000381178231025792×40589641000000     		ar = 10628245.1275779m²