Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4089 / 2903
↖ ↑ ↗
← N 46.346928°
W  0.307617°		 ← 3 373.10 m → N 46.346928°
W  0.263672°		 →
↑
3 374.08 m
↓
↑
3 374.08 m
↓
N 46.316584°
W  0.307617°		 ← 3 374.97 m →
11 384 265 m²		 N 46.316584°
W  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49920654296875 y=0.35443115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49920654296875 × 213)
    floor (0.49920654296875 × 8192)
    floor (4089.5)     		tx = 4089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35443115234375 × 213)
    floor (0.35443115234375 × 8192)
    floor (2903.5)     		ty = 2903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4089 / 2903 ti = "13/4089/2903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4089/2903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4089 ÷ 213
    4089 ÷ 8192     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2903 ÷ 213
    2903 ÷ 8192     		y = 0.3543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3543701171875 × 2 - 1) × π
    0.291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.915019539947632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915019539947632))-π/2
    2×atan(2.49682403923921)-π/2
    2×1.18985140588226-π/2
    2.37970281176453-1.57079632675     		φ = 0.80890649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80890649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.346928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4089 KachelY 2903 -0.00536893 0.80890649 -0.307617 46.346928
    Oben rechts KachelX + 1 4090 KachelY 2903 -0.00460194 0.80890649 -0.263672 46.346928
    Unten links KachelX 4089 KachelY + 1 2904 -0.00536893 0.80837689 -0.307617 46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 4090 KachelY + 1 2904 -0.00460194 0.80837689 -0.263672 46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80890649-0.80837689) × R
    0.000529600000000019 × 6371000     		dl = 3374.08160000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80890649-0.80837689) × R
    0.000529600000000019 × 6371000     		dr = 3374.08160000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00460194) × cos(0.80890649) × R
    0.00076699 × 0.690290035823246 × 6371000     		do = 3373.09762820415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00460194) × cos(0.80837689) × R
    0.00076699 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 3374.96957601327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80890649)-sin(0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690290035823246-0.690673121954347)×R²
    abs(-0.00460194--0.00536893)×0.000383086131100385×R²
    0.00076699×0.000383086131100385×6371000²
    0.00076699×0.000383086131100385×40589641000000     		ar = 11384264.9607421m²