Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4088 / 2837
↖ ↑ ↗
← N 48.312428°
W  0.351562°		 ← 3 249.85 m → N 48.312428°
W  0.307617°		 →
↑
3 250.80 m
↓
↑
3 250.80 m
↓
N 48.283193°
W  0.351562°		 ← 3 251.71 m →
10 567 654 m²		 N 48.283193°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49908447265625 y=0.34637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49908447265625 × 213)
    floor (0.49908447265625 × 8192)
    floor (4088.5)     		tx = 4088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34637451171875 × 213)
    floor (0.34637451171875 × 8192)
    floor (2837.5)     		ty = 2837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4088 / 2837 ti = "13/4088/2837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4088/2837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4088 ÷ 213
    4088 ÷ 8192     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2837 ÷ 213
    2837 ÷ 8192     		y = 0.3463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965640905946411))-π/2
    2×atan(2.62647043768632)-π/2
    2×1.20700363166749-π/2
    2.41400726333498-1.57079632675     		φ = 0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4088 KachelY 2837 -0.00613592 0.84321094 -0.351562 48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 4089 KachelY 2837 -0.00536893 0.84321094 -0.307617 48.312428
    Unten links KachelX 4088 KachelY + 1 2838 -0.00613592 0.84270069 -0.351562 48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 4089 KachelY + 1 2838 -0.00536893 0.84270069 -0.307617 48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84321094-0.84270069) × R
    0.000510249999999934 × 6371000     		dl = 3250.80274999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84321094-0.84270069) × R
    0.000510249999999934 × 6371000     		dr = 3250.80274999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00536893) × cos(0.84321094) × R
    0.00076699 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 3249.85219950656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00536893) × cos(0.84270069) × R
    0.00076699 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 3251.71375387137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84321094)-sin(0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.665449343914145)×R²
    abs(-0.00536893--0.00613592)×0.000380959157074812×R²
    0.00076699×0.000380959157074812×6371000²
    0.00076699×0.000380959157074812×40589641000000     		ar = 10567654.4695525m²