Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4086 / 2998
↖ ↑ ↗
← N 43.389082°
W  0.439453°		 ← 3 551.04 m → N 43.389082°
W  0.395508°		 →
↑
3 551.96 m
↓
↑
3 551.96 m
↓
N 43.357138°
W  0.439453°		 ← 3 552.91 m →
12 616 482 m²		 N 43.357138°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49884033203125 y=0.36602783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49884033203125 × 213)
    floor (0.49884033203125 × 8192)
    floor (4086.5)     		tx = 4086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36602783203125 × 213)
    floor (0.36602783203125 × 8192)
    floor (2998.5)     		ty = 2998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4086 / 2998 ti = "13/4086/2998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4086/2998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4086 ÷ 213
    4086 ÷ 8192     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2998 ÷ 213
    2998 ÷ 8192     		y = 0.365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365966796875 × 2 - 1) × π
    0.26806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.842155452525146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842155452525146))-π/2
    2×atan(2.32136518059074)-π/2
    2×1.16403933301631-π/2
    2.32807866603261-1.57079632675     		φ = 0.75728234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75728234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.389082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4086 KachelY 2998 -0.00766990 0.75728234 -0.439453 43.389082
    Oben rechts KachelX + 1 4087 KachelY 2998 -0.00690291 0.75728234 -0.395508 43.389082
    Unten links KachelX 4086 KachelY + 1 2999 -0.00766990 0.75672482 -0.439453 43.357138
    Unten rechts KachelX + 1 4087 KachelY + 1 2999 -0.00690291 0.75672482 -0.395508 43.357138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75728234-0.75672482) × R
    0.000557520000000089 × 6371000     		dl = 3551.95992000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75728234-0.75672482) × R
    0.000557520000000089 × 6371000     		dr = 3551.95992000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00690291) × cos(0.75728234) × R
    0.00076699 × 0.72670558599051 × 6371000     		do = 3551.04196974814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00690291) × cos(0.75672482) × R
    0.00076699 × 0.727088460862169 × 6371000     		du = 3552.91288523942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75728234)-sin(0.75672482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72670558599051-0.727088460862169)×R²
    abs(-0.00690291--0.00766990)×0.000382874871659333×R²
    0.00076699×0.000382874871659333×6371000²
    0.00076699×0.000382874871659333×40589641000000     		ar = 12616481.7859996m²