Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4086 / 2984
↖ ↑ ↗
← N 43.834527°
W  0.439453°		 ← 3 524.84 m → N 43.834527°
W  0.395508°		 →
↑
3 525.78 m
↓
↑
3 525.78 m
↓
N 43.802819°
W  0.439453°		 ← 3 526.71 m →
12 431 086 m²		 N 43.802819°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49884033203125 y=0.36431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49884033203125 × 213)
    floor (0.49884033203125 × 8192)
    floor (4086.5)     		tx = 4086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36431884765625 × 213)
    floor (0.36431884765625 × 8192)
    floor (2984.5)     		ty = 2984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4086 / 2984 ti = "13/4086/2984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4086/2984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4086 ÷ 213
    4086 ÷ 8192     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2984 ÷ 213
    2984 ÷ 8192     		y = 0.3642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852893318040039))-π/2
    2×atan(2.34642599675182)-π/2
    2×1.16792657259049-π/2
    2.33585314518098-1.57079632675     		φ = 0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4086 KachelY 2984 -0.00766990 0.76505682 -0.439453 43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 4087 KachelY 2984 -0.00690291 0.76505682 -0.395508 43.834527
    Unten links KachelX 4086 KachelY + 1 2985 -0.00766990 0.76450341 -0.439453 43.802819
    Unten rechts KachelX + 1 4087 KachelY + 1 2985 -0.00690291 0.76450341 -0.395508 43.802819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76505682-0.76450341) × R
    0.000553409999999976 × 6371000     		dl = 3525.77510999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76505682-0.76450341) × R
    0.000553409999999976 × 6371000     		dr = 3525.77510999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00690291) × cos(0.76505682) × R
    0.00076699 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 3524.83776017049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00690291) × cos(0.76450341) × R
    0.00076699 × 0.721726175423558 × 6371000     		du = 3526.71011342458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76505682)-sin(0.76450341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721726175423558)×R²
    abs(-0.00690291--0.00766990)×0.000383169103684966×R²
    0.00076699×0.000383169103684966×6371000²
    0.00076699×0.000383169103684966×40589641000000     		ar = 12431086.3071118m²