Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4085 / 2985
↖ ↑ ↗
← N 43.802819°
W  0.483398°		 ← 3 526.71 m → N 43.802819°
W  0.439453°		 →
↑
3 527.69 m
↓
↑
3 527.69 m
↓
N 43.771094°
W  0.483398°		 ← 3 528.58 m →
12 444 430 m²		 N 43.771094°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49871826171875 y=0.36444091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49871826171875 × 213)
    floor (0.49871826171875 × 8192)
    floor (4085.5)     		tx = 4085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36444091796875 × 213)
    floor (0.36444091796875 × 8192)
    floor (2985.5)     		ty = 2985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4085 / 2985 ti = "13/4085/2985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4085/2985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4085 ÷ 213
    4085 ÷ 8192     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2985 ÷ 213
    2985 ÷ 8192     		y = 0.3643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3643798828125 × 2 - 1) × π
    0.271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852126327646118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852126327646118))-π/2
    2×atan(2.34462700054686)-π/2
    2×1.16764986753945-π/2
    2.3352997350789-1.57079632675     		φ = 0.76450341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76450341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.802819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4085 KachelY 2985 -0.00843689 0.76450341 -0.483398 43.802819
    Oben rechts KachelX + 1 4086 KachelY 2985 -0.00766990 0.76450341 -0.439453 43.802819
    Unten links KachelX 4085 KachelY + 1 2986 -0.00843689 0.76394970 -0.483398 43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 4086 KachelY + 1 2986 -0.00766990 0.76394970 -0.439453 43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76450341-0.76394970) × R
    0.000553710000000041 × 6371000     		dl = 3527.68641000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76450341-0.76394970) × R
    0.000553710000000041 × 6371000     		dr = 3527.68641000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00766990) × cos(0.76450341) × R
    0.00076699 × 0.721726175423558 × 6371000     		do = 3526.71011342458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00766990) × cos(0.76394970) × R
    0.00076699 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 3528.58240069131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76450341)-sin(0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721726175423558-0.722109331023211)×R²
    abs(-0.00766990--0.00843689)×0.000383155599652518×R²
    0.00076699×0.000383155599652518×6371000²
    0.00076699×0.000383155599652518×40589641000000     		ar = 12444430.0782619m²