Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4083 / 2857
↖ ↑ ↗
← N 47.724545°
W  0.571289°		 ← 3 287.17 m → N 47.724545°
W  0.527343°		 →
↑
3 288.07 m
↓
↑
3 288.07 m
↓
N 47.694974°
W  0.571289°		 ← 3 289.03 m →
10 811 508 m²		 N 47.694974°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49847412109375 y=0.34881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49847412109375 × 213)
    floor (0.49847412109375 × 8192)
    floor (4083.5)     		tx = 4083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34881591796875 × 213)
    floor (0.34881591796875 × 8192)
    floor (2857.5)     		ty = 2857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4083 / 2857 ti = "13/4083/2857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4083/2857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4083 ÷ 213
    4083 ÷ 8192     		x = 0.4984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2857 ÷ 213
    2857 ÷ 8192     		y = 0.3487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00997088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3487548828125 × 2 - 1) × π
    0.302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.950301098067993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00997088} λ = -0.00997088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950301098067993))-π/2
    2×atan(2.5864883287207)-π/2
    2×1.20187338158656-π/2
    2.40374676317313-1.57079632675     		φ = 0.83295044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00997088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83295044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.724545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4083 KachelY 2857 -0.00997088 0.83295044 -0.571289 47.724545
    Oben rechts KachelX + 1 4084 KachelY 2857 -0.00920388 0.83295044 -0.527343 47.724545
    Unten links KachelX 4083 KachelY + 1 2858 -0.00997088 0.83243434 -0.571289 47.694974
    Unten rechts KachelX + 1 4084 KachelY + 1 2858 -0.00920388 0.83243434 -0.527343 47.694974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83295044-0.83243434) × R
    0.000516099999999908 × 6371000     		dl = 3288.07309999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83295044-0.83243434) × R
    0.000516099999999908 × 6371000     		dr = 3288.07309999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00997088--0.00920388) × cos(0.83295044) × R
    0.000767 × 0.672695603568435 × 6371000     		do = 3287.16541048656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00997088--0.00920388) × cos(0.83243434) × R
    0.000767 × 0.673077386331862 × 6371000     		du = 3289.03101372167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83295044)-sin(0.83243434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672695603568435-0.673077386331862)×R²
    abs(-0.00920388--0.00997088)×0.000381782763426375×R²
    0.000767×0.000381782763426375×6371000²
    0.000767×0.000381782763426375×40589641000000     		ar = 10811507.5213532m²