Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4082 / 2897
↖ ↑ ↗
← N 46.528635°
W  0.615235°		 ← 3 361.87 m → N 46.528635°
W  0.571289°		 →
↑
3 362.80 m
↓
↑
3 362.80 m
↓
N 46.498392°
W  0.615235°		 ← 3 363.74 m →
11 308 454 m²		 N 46.498392°
W  0.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49835205078125 y=0.35369873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49835205078125 × 213)
    floor (0.49835205078125 × 8192)
    floor (4082.5)     		tx = 4082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35369873046875 × 213)
    floor (0.35369873046875 × 8192)
    floor (2897.5)     		ty = 2897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4082 / 2897 ti = "13/4082/2897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4082/2897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4082 ÷ 213
    4082 ÷ 8192     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2897 ÷ 213
    2897 ÷ 8192     		y = 0.3536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3536376953125 × 2 - 1) × π
    0.292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.919621482311157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919621482311157))-π/2
    2×atan(2.50834075887468)-π/2
    2×1.19143709933349-π/2
    2.38287419866697-1.57079632675     		φ = 0.81207787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81207787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.528635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4082 KachelY 2897 -0.01073787 0.81207787 -0.615235 46.528635
    Oben rechts KachelX + 1 4083 KachelY 2897 -0.00997088 0.81207787 -0.571289 46.528635
    Unten links KachelX 4082 KachelY + 1 2898 -0.01073787 0.81155004 -0.615235 46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 4083 KachelY + 1 2898 -0.00997088 0.81155004 -0.571289 46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81207787-0.81155004) × R
    0.000527830000000007 × 6371000     		dl = 3362.80493000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81207787-0.81155004) × R
    0.000527830000000007 × 6371000     		dr = 3362.80493000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.00997088) × cos(0.81207787) × R
    0.00076699 × 0.687991970974419 × 6371000     		do = 3361.86814974038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.00997088) × cos(0.81155004) × R
    0.00076699 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 3363.73948136978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81207787)-sin(0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687991970974419-0.688374931006971)×R²
    abs(-0.00997088--0.01073787)×0.00038296003255156×R²
    0.00076699×0.00038296003255156×6371000²
    0.00076699×0.00038296003255156×40589641000000     		ar = 11308453.512122m²