Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4081 / 3024
↖ ↑ ↗
← N 42.553080°
W  0.659180°		 ← 3 599.64 m → N 42.553080°
W  0.615235°		 →
↑
3 600.57 m
↓
↑
3 600.57 m
↓
N 42.520700°
W  0.659180°		 ← 3 601.51 m →
12 964 123 m²		 N 42.520700°
W  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49822998046875 y=0.36920166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49822998046875 × 213)
    floor (0.49822998046875 × 8192)
    floor (4081.5)     		tx = 4081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36920166015625 × 213)
    floor (0.36920166015625 × 8192)
    floor (3024.5)     		ty = 3024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4081 / 3024 ti = "13/4081/3024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4081/3024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4081 ÷ 213
    4081 ÷ 8192     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3024 ÷ 213
    3024 ÷ 8192     		y = 0.369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369140625 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822213702283203))-π/2
    2×atan(2.2755316155812)-π/2
    2×1.15674384234268-π/2
    2.31348768468536-1.57079632675     		φ = 0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4081 KachelY 3024 -0.01150486 0.74269136 -0.659180 42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 4082 KachelY 3024 -0.01073787 0.74269136 -0.615235 42.553080
    Unten links KachelX 4081 KachelY + 1 3025 -0.01150486 0.74212621 -0.659180 42.520700
    Unten rechts KachelX + 1 4082 KachelY + 1 3025 -0.01073787 0.74212621 -0.615235 42.520700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74269136-0.74212621) × R
    0.000565150000000014 × 6371000     		dl = 3600.57065000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74269136-0.74212621) × R
    0.000565150000000014 × 6371000     		dr = 3600.57065000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01073787) × cos(0.74269136) × R
    0.00076699 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 3599.64082770956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01073787) × cos(0.74212621) × R
    0.00076699 × 0.737033212886984 × 6371000     		du = 3601.50784927939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74269136)-sin(0.74212621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.737033212886984)×R²
    abs(-0.01073787--0.01150486)×0.000382077997253094×R²
    0.00076699×0.000382077997253094×6371000²
    0.00076699×0.000382077997253094×40589641000000     		ar = 12964122.6313839m²