Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4077 / 3003
↖ ↑ ↗
← N 43.229195°
W  0.834961°		 ← 3 560.40 m → N 43.229195°
W  0.791016°		 →
↑
3 561.33 m
↓
↑
3 561.33 m
↓
N 43.197167°
W  0.834961°		 ← 3 562.27 m →
12 683 057 m²		 N 43.197167°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49774169921875 y=0.36663818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49774169921875 × 213)
    floor (0.49774169921875 × 8192)
    floor (4077.5)     		tx = 4077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36663818359375 × 213)
    floor (0.36663818359375 × 8192)
    floor (3003.5)     		ty = 3003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4077 / 3003 ti = "13/4077/3003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4077/3003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4077 ÷ 213
    4077 ÷ 8192     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3003 ÷ 213
    3003 ÷ 8192     		y = 0.3665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838320500555542))-π/2
    2×atan(2.31247990481173)-π/2
    2×1.16264405725159-π/2
    2.32528811450317-1.57079632675     		φ = 0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4077 KachelY 3003 -0.01457282 0.75449179 -0.834961 43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 4078 KachelY 3003 -0.01380583 0.75449179 -0.791016 43.229195
    Unten links KachelX 4077 KachelY + 1 3004 -0.01457282 0.75393280 -0.834961 43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 4078 KachelY + 1 3004 -0.01380583 0.75393280 -0.791016 43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75449179-0.75393280) × R
    0.000558990000000037 × 6371000     		dl = 3561.32529000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75449179-0.75393280) × R
    0.000558990000000037 × 6371000     		dr = 3561.32529000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01380583) × cos(0.75449179) × R
    0.00076699 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 3560.39537114846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01380583) × cos(0.75393280) × R
    0.00076699 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 3562.26567018654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75449179)-sin(0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.729002468391097)×R²
    abs(-0.01380583--0.01457282)×0.000382748717143055×R²
    0.00076699×0.000382748717143055×6371000²
    0.00076699×0.000382748717143055×40589641000000     		ar = 12683056.779558m²